Комбинаторика слов, фактординамика и нормальные формы
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-2-202-235
Аннотация
Методы символической динамики играют существенную роль в изучении комбинаторных свойств слов, задачах теории чисел и теории динамических систем. Работа посвящена задачам комбинаторике слов, её приложениям в алебре и динамических системах. В разделе 2.1 рассматривается одномерный случай на ключевом примере слов Штурма. Даётся доказательство критерия подстановочности палиндромов Штурма с помощью индукции Рози, рассматривается случай одномерной фактординамики. В разделе 2.2 рассматривается сдвиг тора и фрактал Рози, порождающий слово Трибоначчи. Рассказывается связь периодичности схем Рози и подстановочности слова, порождённого этой системой. Приводится реализация слова Трибоначчи через перекладывание отрезков. Намечается подход к гипотезе Пизо. В разделе 2.3 говорится об унипотентных преобразованиях тора и бильярдах в многоугольниках.
В главе 3 рассказывается о нормальных формах и росте групп и алгебр. Глава 4 посвящена графам Рози, базисам Гребнера и ко-росту, а также алгебраическим применениям. В разделе 4.1 говорится о результатах в комбинаторике полилинейных слов, разбитой В. Н. Латышевым и поставленных им проблемах. В параграфе 4.2 говорится о конечно
определённых объектах и проблемах контроля над определяющими их соотношениями. В разделе 4.3 описываются некоторые мономиальные алгебры в терминах равномерно рекуррентных слов.
Глава 5 посвящена проблеме о высоте и нормальным формам.
Ключевые слова
комбинаторика слов,
слова Штурма,
фактординамика,
фракталы Ро- зи,
перекладывания отрезков,
символическая динамика,
теорема Ширшова о высоте,
почти периодическая последовательность,
теорема о высоте,
непериодические мозаики,
DOLL- системы,
теоремы типа теоремы Вершика-Лившица,
схемы Рози,
определимость в струк- турах,
базис Гребнера-Ширшова,
𝑛-разбиваемость,
теоремы Дилуорса,
проблемы бернсай- довского типа
Список литературы
1. С.И. Адян. Проблема Бернсайда и тождества в группах // М., Наука, 1975.
2. Адян С. И., Разборов А. А. Периодические группы и алгебры Ли. // Успехи мат. наук, 1987, т. 42, no 2, стр. 2–68.
3. С. В. Алешин, Свободная группа конечных автоматов, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1983, № 4, 12–14
4. С.В. Алешин, О суперпозициях автоматных отображений // Кибернетика, Киев, 1975, |1, 29–34.
5. С.В. Алешин, Конечные автоматы и проблема Бернсайда о периодических группах // Мат. Заметки 11 (1972), 319–328.
6. В. И. Арнольд, Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике// Успехи Мат. Наук, 1963, 18:6(114), стр. 91Ц192
7. Ю.А. Бахтурин, Тождества в алгебрах Ли // Москва, Наука, 1985, 448 стр.
8. Бабенко И. К. Проблемы роста и рациональности в алгебре и топологии.// Успехи мат. наук, 1986, vol 41, no 2, pages 96–142.
9. А.Я.Белов, Классификация слабо нетеровых мономиальных алгеб // Фунд. и прикл. мат. – 1995.–1.,т1,|4, –С. 1085-1089.
10. А.Я.Белов, В.В.Борисенко, В.Н.Латышев, Мономиальные алгебры // Итоги науки и техники. Совр. Мат. Прил. Тем. Обзоры т. 26 (алг. 4), М. 2002. 35-214.
11. Белов А. Я. О рациональности рядов Гильберта относительно свободных алгебр. //Успехи мат. наук, 1997, т. 52, no 2, стр. 153–154.
12. Белов А. Я. О базисе Ширшова относительно свободных алгебр сложности 𝑛.// Мат. сб., 1988, т. 135, No 31, стр. 373–384.
13. Белов А. Я. Теорема о высоте для йордановых и лиевых PI-алгебр.// Сиб. школа по многообр. алгебраических систем. Тезисы. — Барнаул, 1988, стр. 12–13.
14. А.Белов, Г.Кондаков, Обратные задачи символической динамики // Фундаментальная и прикладная математика, Т1, |1, 1995
15. Голод Е. С., Шафаревич И. Р. О башне полей классов. // Изв. АН СССР. Сер. мат., 964, т. 28, no 2, стр. 261–272.
16. Голод Е. С. О нильалгебрах и финитно-аппроксимируемых 𝑝-группах.// Изв. АН СССР.
17. Сер. мат., 1964, т. 28, no 2, стр. 273–276.
18. Григорчук Р. И. К проблеме Милнора о групповом росте. //Докл. АН СССР, 1983, т. 271, | 1, стр. 53–54.
19. Григорчук Р. И. Степени роста конечно порожденных групп и теория инвариантных средних.// Изв. АН СССР. Сер. мат., 1984, т. 48, no 5, стр. 939–985.
20. Григорчук Р. И. О рядах Гильберта-Пуанкаре градуированных алгебр, ассоциированных с группами.// Мат. сб., 1989, т. 180, no 2, стр. 207–225.
21. Днестровская тетрадь: оперативно-информац. сборник — 4-е изд. — Новосибирск: изд. ин–та матем. СО АН СССР, 1993, 73 стр.
22. A. Kanel-Belov, I. Melnikov, I Mitrofanov, On cogrowth function of algebras and its logarithmical gap, //Comptes Rendus - S´erie Math´ematique., 2021. (to appear)
23. М. И. Харитонов, Оценки структуры кусочной периодичности в теореме Ширшова о высоте, //Вестник Московского университета, Серия 1, Математика. Механика., 2013, № 1, 10—16 arXiv:1108.6295
24. М. И. Харитонов, Двусторонние оценки существенной высоты в теореме Ширшова о высоте,// Вестник Московского университета, Серия 1, Математика. Механика., 2, 2012,
25. с. 24–28.
26. М. И. Харитонов, Оценки, связанные с теоремой Ширшова о высоте, //диссертация, 2015
27. Petr Lavrov, Number of restrictions required for periodic word in the finite alphabet. // arXiv:1209.0220
28. Bogdanov, Ilya I.; Chelnokov, Grigory R. The maximal length of the period of a periodic word defined by restrictions.// arXiv:1305.0460
29. Mikhail Kharitonov, Estimates on the number of partially ordered sets.// arXiv:1307.1886
30. Каргаполов М.И. Мерзляков Ю.И. Основы теории групп, //(3е изд., Наука, 1982) 288стр.
31. И. А. Иванов-Погодаев. Алгебра с конечным базисом Грёбнера и неразрешимой проблемой делителей нуля. // Фундамент. и прикл. матем., 12:8 (2006), 79–96
32. А. Б. Каток, А. М. Степин, Аппроксимации в эргодической теории // Успехи Мат.Наук, 1967, 22:5(137), 81Ц106
33. А.Т. Колотов, Апериодические последовательности и функции роста в алгебрах // Алгебра и логика, 20 (1981), 138–154, 250.
34. А.Т. Колотов, Алгебры и полугруппы с периодической функцией роста // Алгебра и логика, 19 (1980), 659–668, 745.
35. А. Г. Колотов О верхней оценке высоты конечно-порожденной алгебры с тождественными соотношениями //Сиб. мат. ж., 1982, т. 23, N 1, стр. 187–189.
36. Кострикин А. И. Вокруг Бернсайда. — М.: Наука, 1986, 232 стр.
37. Курош А. Г. Проблемы теории колец, связанные с проблемой Бернсайда о периодических группах.// Изв. АН СССР, сер. мат., 1941, т. 5, стр. 233–240.
38. В. Б. Кудрявцев, С. В. Алешин, А. С. Подколзин, Введение в теорию автоматов — Москва,
39. “Наука”, 1985. 320 стр.
40. В.Н. Латышев, К теореме Регева о тождествах тензороного произведения 𝑃𝐼-алгебр // Успехи матем. наук, 1972, т. 27, | 4, стр. 213–214
41. Р.Линдон, П.Шупп, Комбинаторная теория групп — М., Мир, 1980.
42. Михалев А. А. Техника композиции А. И. Ширшова в супералгебрах Ли (некоммутативные базисы Гребнера).// Тр. семинара им. И. Г. Петровского, 1994, т. 18.
43. Мищенко С. П., Вариант теоремы о высоте для алгебр Ли.// Мат. заметки, 1990, ;7, no 4, стр. 83–89.
44. Ivan Mitrofanov On uniform recurrence of HD0l systems, arXiv:1111.1999 20 pages.
45. Ivan Mitrofanov, A proof for the decidability of HD0L ultimate periodicity. arXiv:1110.4780 33 pages.
46. Митрофанов И. В., Алгоритмические проблемы, связанные с морфическими последовательностями, диссертация 2017.
47. Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. сер. Соврем. алгебра. М.: Наука, 1989, 447 стр.
48. В.И.Оселедец, О спектре эргодических автоморфизмов // ДАН СССР, 1966, 168, 1009Ц1011.
49. Пчелинцев С. В. Теорема о высоте для альтернативных алгебр.// Мат. сб., 1984, т. 124, No 4, стр. 557–567.
50. Саломаа А. Жемчужины формальных языков. — М.: Мир, 1986, 159 стр.
51. Я.Г. Синай, Введение в эргодическую теорию // М.: ФАЗИС, 1996. 144 с.
52. Трофимов В. И. Об одном признаке экспоненциального роста градуированных алгебр. В кн.: Исследование алгебраических систем по свойствам их подсистем. — Свердловск, 1980, стр. 152–160.
53. Уфнаровский В. А. Теорема о независимости и ее следствия. Мат. сб., 1985, т. 128, no 1, стр. 124–132.
54. Уфнаровский В.А. Комбинат. и асимпт. методы в алгебре. // Итоги науки и тех. Сер. Совр. Пробл. Мат. Фунд. направл. М. ВИНИТИ. 1990- 57, стр 5–177. (РЖМат, 1990).
55. Чекану Г. П. О локальной конечности алгебр. Мат. исслед. (Кишинев), 1988, N 105, стр. 153–171.
56. Чекану Г. П. К теореме Ширшова о высоте. 𝑋𝐼𝑋 Всес. алгебр. конф.: Тезисы сообщ. 𝐼. — Львов, 1987, стр. 306.
57. Г. Р. Челноков О числе запретов, задающих периодическую последовательность Моделирование и анализ информационных систем, Т.13, N3 (2007) 66–70
58. Ширшов А. И. О некоторых неассоциативных ниль-кольцах и алгебраических алгебрах.// Мат. сб., 1957, т. 41, no 3, 381–394.
59. Ширшов А. И. О кольцах с тождественными соотношениями.// Мат. сб., 1957, т. 43, no 2, стр. 277–283.
60. Ширшов А. И. О свободных кольцах Ли.// Мат. сб., 1958, т. 45, no 2, стр. 113–122.
61. Ширшов А. И. О базах свободной алгебры Ли. //Алгебра и логика, 1962, т. 1, no 1, стр. 14–19.
62. A.Aberkane, Words whose complexity satisfies lim 𝑝(𝑛)/𝑛 = 1 // Theor. Comp. Sci., 307, (2003), 31-46.
63. P.Ambro z, L. H´akov´ , E. Pelantov´a, Properties of 3iet preserving morphisms and their matrices // ProceedingsWORDS 2007, Eds. P. Arnoux, N. Bedaride, J. Cassaigne, (2007), 18–24.
64. P. Arnoux, Un exemple de semi-conjugaison entre un ´echange d’intervalles et une translation sur le tore // Bull. Soc. Math. France 116 (1988), 489–500.
65. P. Arnoux and G. Rauzy [1991], Representation geometrique des suites the complexite 2𝑛+1 // Bull. Soc. Math. France 119, 199-215.
66. Arnoux, Pierre; Mauduit, Christian; Shiokawa, Iekata; Tamura, Jun-ichi. Complexity of sequences defined by billiard in the cube.// Bull. Soc. Math. France 122 (1994), no. 1, 1–12.
67. P.Bal´azi, Infnite Words Coding Three-Interval Exchange // diploma work CTU (2003).
68. P.Bal´azi, Substitution properties of ternary words coding 3- interval exchange, // Proceedings WORDS 2003, Eds. T. Harju and J. Karhumдaki, (2003), 119-124.
69. P. Bal´azi, Z. Mas´akov´a, E. Pelantov´a, Characterization of substitution invariant 3iet words, submitted to Integers // arXiv:0709.2638, (2007).
70. A.Belov, Т. Gateva-Ivanova, Radicals of monomial algebras // Proceedings of Taiwan-Moscow Algebra Workshop, – C. 159-169, 1994.
71. A. Belov. Some estimations for nilpotence of nil-algebras over a field of an arbitrary characteristic and height theorem // Communications in algebra, 20 (10):2919–2922, 1992.
72. Belov, A., Michailov R. Free subalgebras of Lie algebras close to nilpotent. // Groups, Geometry, and Dynamics, No 1, 2010, pp. 15–29.
73. Belov, A.; Kontsevich M.L. Jacobian and Dixmier Conjectures are stably equivalent. //Moscow Mathematical Journal. Vol. 7 (2007) (A special volume dedicated to the 60-th anniversary of A.G.Khovanskii), No 2, pp 209–218.
74. А. Я. Белов. Линейные рекуррентные уравнения на дереве. // Матем. заметки, 78:5 (2005), 643–651
75. Kanel–Belov A., M.Kharitonov. Subexponential estimates in the height theorem and estimates on numbers of periodic parts of small periods. //Fundam. Prikl. Mat. (Fundamental and
76. Applied Mathematics), 2011/2012, Vol. 17, No 5, p. 21–54 ;
77. Kanel–Belov A., Rowen Louis H.; Vishne, Uzi Full exposition of Specht’s problem.// Serdica Math. J. 38 (2012), 313–370.
78. А. Я. Белов, М. И. Харитонов Субэкспоненциальная оценка в теореме Ширшова о высоте. //Матем. Сборник. 2012, vol. 203, N 4, p. 81–102.
79. Kanel–Belov A., Eli Aljadeff. Representability and Specht problem for 𝐺-graded algebras.// Adv. in Mat., vol. 225, No 5, 2010, pp. 2391–2428.
80. Kanel–Belov A., Rowen Louis H.; Vishne, Uzi Structure of Zariski-closed algebras.// Trans. Amer. Math.Soc., Vol.362, No 9, Pages 4695–4734.
81. В. Н. Латышев. Комбинаторные порождающие полилинейных полиномиальных тождеств.// Фундамент. и прикл. матем., 12:2 (2006), стр. 101–110.
82. Durand, Fabien. Decidability of uniform recurrence of morphic sequences. arXiv:1204.5393
83. Durand, Fabien. Decidability of the HD0L ultimate periodicity problem. arXiv:1111.3268
84. Fabien Durand, Samuel Petite, Unimodular pisot substitutions and domain exchanges. arXiv: 1408.2110 [math.DS]
85. A.Белов, И.Митрофанов. Периодичность схем Рози и подстановочные системы // arXiv: 1107.0185
86. A.Ya.Belov, G.V.Kondakov, I.Mitrofanov. Inverse problems of symbolic dynamics.// Banach Center Publ. 94 (2011), 43–60.
87. Belov A. J., Ivanov I.A. Construction of semigroups with some exotic properties. //Acta Appl. Math. 85 (2005), no. 1-3, 49–56.
88. Berele, Allan. Applications of Belov’s theorem to the cocharacter sequence of p.i. algebras. // J. Algebra 298 (2006), no. 1, 208–214.
89. Kanel–Belov A., Rowen Louis H.; Vishne, Uzi Full quivers of representations of algebras. //Trans. Amer. Math. Soc. 364 (2012), 5525–5569.
90. Kanel–Belov A., Eli Aljadeff. Hilbert series of 𝑃𝐼-relative free 𝑔-graded algebras are rational functions.// Bull. London Math. Soc., (2012), 44(3): 520–532, doi:10.1112/blms/bdr116
91. Kanel–Belov A., Malev S., Rowen Louis H. The images of non-commutative polynomials evaluated on 2 × 2 matrices.// Proc. Amer. Math. Soc. 140 (2012), 465–478 (posted in
92. arxiv.:1005.0191v2).
93. Kanel–Belov A., Rowen Louis H.; Vishne, Uzi Application of full quivers of representations of algebras, to polynomial identities. //Comm. in Algebra, vol. 39: 4536–4551, 2011.
94. Kanel–Belov A., Rowen Louis H.; Vishne, Uzi Normal bases of 𝑃𝐼-algebras. // Adv. in Appl. Math. 37 (2006), no. 3, 378–389.
95. Kanel–Belov A., Rowen Louis H. Perspectives on Shirshov’s Height Theorem.// in book: selected papers of A.I.Shirshov, Birkh¨user Verlag AG (2009), 3–20.
96. Kanel–Belov, Alexei; Rowen, Louis Halle Combinatorial aspects in polynomial identities. //Research Notes in Mathematics, 9. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 2005. xxii+378
97. Belov, A. Local finite basis property and local representability for varieties of associative rings.// Doclady Academii Nauk (Reports (CR) of Acad. of Sci. of Russia). 2010, v.432,
98. No 6, pp. 727–731, (Doklady Mathematics), Engl. transl.: 2010, Vol. 81, No. 3, pp. 458–461.
99. Belov, A. Local finite basis property and local representability of varieties of associative rings. //Izvestia of Russian Academia of science, No 1, 2010, pp. 3–134. English transl.: Izvestiya:
100. Mathematics, vol. 74, No 1, pp. 1–126.
101. A.L. Chernyat’ev, Balanced Words and Dynamical Systems // Fundamental and Applied Mathematics, 2007, vol. 13, No 5, pp. 213–224
102. A.L. Chernyat’ev, Words with Minimal Growth Function // Vestnik Mosk. Gos. Univ., 2008.
103. A.Ya. Belov and A.L. Chernyat’ev, Describing Sturmian Words over an 𝑛-letter Alphabet // Math. Met. Appl. IV, MGSU, 1999, pp 122–128.
104. Belov A. J. About Non-Specht varieties.// Fund. i prikl. matem., 1999, vol. 5, N 1, pp. 47–66.
105. Belov A. J. Counterexamples to the Specht problem.// Mat. sb., 1999, vol. 191, N 3, p.13–24.
106. (Engl. transl. Sbornik: Mathematics 191:3, 329–340.)
107. A.Ya. Kanel-Belov, A.L. Chernyat’ev. Describing the set of words generated by interval exchange transformation.// Comm. in Algebra, Vol. 38, No 7, July 2010, pages 2588–2605.
108. G.M. Bergman, A note on growth functions of algebras and semigroups // Research Note, University of California, Berkeley, 1978.
109. V. Berth´e, S. Ferenczi, L.Zamboni: Interactions between dynamics, arithmetics and combinatorics: the good, the bad, and the ugly,// AMS Contemporary Math. 385 (2005), p. 333-364.
110. J. Berstel, P. S´e´ebold, Sturmian words, in: M. Lothaire (Ed.) // Algebraic Combinatorics on Words, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, Vol. 90, Cambridge University
111. Press, Cambridge, 2002 (Chap. 2).
112. J.Berstel, Resent results on Sturmian words // Developments in language theory II, 13-24, World Scientific, 1996.
113. J.Cassaigne. Special factors with linear subword complexity. // Developments in language theory, II (Magdeburg, 1995), 25-34, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1996.
114. Cassaigne, J. (F-CNRS-IML); Hubert, P. [Hubert, Pascal] (F-CNRS-IML); Troubetzkoy, S. (FCNRS-IML) Complexity and growth for polygonal billiards. // Ann. Inst. Fourier (Grenoble)
115. (2002), no. 3, 835–847.
116. X. Droubay, G. Pirillo, Palindromes and sturmian word// Theroret. Comput. Sci., 223:73-85, 1999.
117. X.Droubay, J.Justin, G.Pirillo, Episturmian words and some construction of de Luca and Rauzy // Theoret. Comp. Sci.,(2001) 539–553.
118. Drensky V. Codimensions of 𝑇-ideals and Hilbert series of relatively free algebras.// J. Algebra, 1984, vol 91, no 1, pages 1–17.
119. Drensky V. Free algebras and PI-algebras. Springer, 2000, Pages 271.
120. H. Furstenberg. Poincar´e reccurence and number theory.// Bull. Amer. Math. Soc., 5:211-234, 1981.
121. R. L. Graham, Covering the Positive Integers by disjoints sets of the form {[𝑛𝛼 + 𝛽] : 𝑛 = 1, 2, . . .} // J. Combin. Theory Ser A15 (1973) 354-358.
122. P. Hubert, Well balanced sequences // Theoret. Comput. Sci. 242 (2000) 91Ц108.
123. S. Ferenczi, C. Holton, L. Zamboni, The structure of three-interval exchange transformations II: a combinatorial description of the trajectories// J. Anal. Math. 89 (2003), p. 239-276.
124. Ferenczi, L. Zamboni, A new induction for symmetric 𝑘-interval exchange transformations and distances theorem, submitted, Available at: http://iml.univ-mrs.fr/ ferenczi/fz1.pdf
125. Ferenczi, L. Zamboni, Examples of 4-interval exchange transformations, preprint (2006), Available at: http://iml.univ-mrs.fr/ ferenczi/fz2.pdf
126. Ferenczi, L. Zamboni, Languages of k-interval exchange transformations, submitted, Available at: http://iml.univ-mrs.fr/ ferenczi/fz3.pdf
127. Giambruno A., Zaicev M. Exponential Codimentional Growth of PI-algebras: an exact estimate.// Adv.in Math., 1999, vol 142, pages 221–243.
128. Giambruno A., Zaicev M. Minimal varieties of exponential growth.// Adv.in Math., 142, 1999, vol 142, pages 221–243.
129. Gromov M. Groups of polynomial growth and extending maps. // Publ. Math. inst. hautes etud. sci., 1981, vol. 53, pages 53–73.
130. Kemer А. R. Multilinear identities of the algebras over a field of characteristic 𝑝.// Intern. J. of Algebra and Computations., 1995, vol 5, no 2, pages 189–197.
131. Krause, G.; Lenagan, T.H.: Growth of algebra and Gelfand-Kirillov dimension // Research Notes in Math., Pitman, London, 1985.
132. A. de Luca, Sturmian words: structure, combinatorics and their arithmetics // Theoret. Comp. Sci., 183, (1997), 45-82.
133. A. de Luca and S. Varricchio. Combinatorial properties of uniformly recurrent words and an application to semigroups. // Inter. J. Algebra Comput., 1(2):227–246, 1991.MR 92h:20084.
134. Application of Adic representations in the investigations of metric, spectral and topological properties of dynamical systems. Sanct-Petersburg, 1995, 176 pages.
135. M. Lothaire, Combinatorics on Words // Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Addison-Wesley, Reading, MA, 1983, Vol. 17.
136. M. Lothaire, Algebraic combinatorics on words. A collective work by Jean Berstel, Dominique Perrin, Patrice Seebold, Julien Cassaigne, Aldo De Luca, Steffano Varricchio, Alain
137. Lascoux, Bernard Leclerc, Jean-Yves Thibon, Veronique Bruyere, Christiane Frougny, Filippo Mignosi, Antonio Restivo, Christophe Reutenauer, Dominique Foata, Guo-Niu Han, Jacques Desarmenien, Volker Diekert, Tero Harju, Juhani Karhumaki and Wojciech Plandowski. With a preface by Berstel and Perrin. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 90. Cambridge University Press, Cambridge, 2002, 504 pp.
138. Mauduit, C. Substitutions, arithmetic and finite automata: an introduction. Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics, 35-52, Lecture Notes in Math., 1794, Springer,
139. Berlin, 2002, 37B10 (11B85) PDF Clipboard Series Chapter
140. Milnor J. Problem 5603. American Mathematical monthy, 1968, vol. 75, No 6, pages 675–686.
141. M. Morse and G. A. Hedlund [1940], Symbolic dynamics II. Sturmian trajectories, // Amer. J. Math. 62, 1-42.
142. G. Rauzy, Nombres algebriques et substitutions, Bull. Soc. Math. France, 110 (1982), p. 147– 178.
143. G. Rauzy, Mots infnis en arithmetique, in: Automata on Infnite Words // Ecole de Printemps d’Informatique Thfeorique, Le Mont Dore, May 1984, ed. M. Nivat and D. Perrin, Lecture
144. Notes in Computer Science, vol. 192, Springer-Verlag, Berlin etc., pp. 165-171, 1985
145. G. Rauzy, Suites ´a termes dans un alphabet fini // In S´emin. Th´eorie des Nombres, p. 25-01- 25-16, 1982-1983, Expos´e No 25.
146. G. Rauzy, ´Echanges d’intervalles et transformations induites, //(in French), Acta Arith. 34 (1979), p. 315-328.
147. G. Rozenberg and A. Salomaa // The Mathematical Theory of L Systems, Academic Press, New York etc., 1980
148. G.Rote, Sequences with subword complexity 2𝑛 // J. Number Theory 46 (1994) 196–213.
149. R.Tijdeman, Decomposition of the integers as a direct sum of two subsets // in: Number Theory, ed. by S. David, Number Theory Seminar Paris 1992-93, Cambridge University Press,
150. (1995), 261-276.
151. R.Tijdeman, Fraenkel’s conjecture for six sequences // Discrete Mathematics, Volume 222, Issue 1-3, 223 - 234, 2000
152. L. Vuillon, Balanced words // Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 10 (2003), no. 5, 787-805
153. L.Vuillon, A characterization of Sturmian word by return words // European Journal of Combinatorics (2001) 22, 263-275.
154. Vershik, A. M. The adic realizations of the ergodic actions with the homeomorphisms of the Markov compact and the ordered Bratteli diagrams. //Zap. Nauchn. Sem. S.-Peterburg. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (POMI) 223 (1995), Teor. Predstav. Din. Sistemy, Kombin. i Algoritm. Metody. I, 120–126, 338; translation in J. Math. Sci. (New York) 87 (1997), no. 6, 4054–4058.
155. Vershik, A. M.; Livshits, A. N. Adic models of ergodic transformations, spectral theory, substitutions, and related topics. Representation theory and dynamical systems, //185–204, Adv. Soviet Math., 9, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1992.
156. Belov A. J. Rationality of Hilbert series with respect to free algebras., //Uspehi mat. nauk, 1997, vol. 55, N 2, p. 153–154. translation in Russian Math. Surveys 52, 1997, N 2, 394–395
157. H.Weyl, ¨Uber der gleichverteilung von zahlen mod 1, // Math. Ann., v. 77, 313-352, 1916.
Рецензия
Для цитирования:
Решетников А.И. Комбинаторика слов, фактординамика и нормальные формы. Чебышевский сборник. 2021;22(2):202-235. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-2-202-235
For citation:
Reshetnikov I.A. Combinatorics on words, facrordynamics and normal forms. Chebyshevskii Sbornik. 2021;22(2):202-235. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-2-202-235
Просмотров: 278
Послать статью по эл. почте 