Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

Завершение доказательства теоремы Брунна элементарными средствами

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-2-160-182

Полный текст:

Аннотация

Брунн в 1887 году сформулировал теорему о трёх параллельных сечениях выпуклого тела с одинаковыми по площади крайними сечениями, но не получающимися друг из друга параллельным сдвигом, утверждающую, что площадь среднего сечения строго больше, а корректно доказал, как заметил Минковский, что только не меньше. Исключение равенства, считавшегося до сих пор наиболее трудным в теореме, доказывается вплоть до настоящего времени многими авторами, привлекая серьёзную математику. В статье предлагается принципиально иной геометрический подход к доказательству теоремы, благодаря чему для корректного завершения исходного доказательства Брунна можно ограничиться элементарными средствами, доступными школьникам, минуя трудности с равенством, причём предлагаемые рассуждения распространяются на все размерности, как и сама теорема, на что указывал Брунн. Пусть, в общем случае, 𝑉𝑛(𝑄) – 𝑛-мерный объём тела 𝑄 ⊂ R𝑛, 𝐿0, 𝐿1 – параллельные гиперплоскости в R𝑛+1, содержащие соответственно выпуклые тела 𝑃0, 𝑃1, а 𝐿 – паралельная им гиперплоскость, находящаяся строго между ними, и 𝑃 – пересечение 𝐿 с выпуклой оболочкой объединения 𝑃0 ∪𝑃1. Теорема Брунна утверждает, что если 𝑃1 не получается из 𝑃0 параллельным переносом и 𝑉𝑛(𝑃1) = 𝑉𝑛(𝑃0) = 𝑣 > 0, то 𝑉𝑛(𝑃) > 𝑣. В 1887 году Брунн строго доказал, что 𝑉𝑛(𝑃) > 𝑣, используя эффективный приём одновременного
одинакового деления объёмов 𝑃0, 𝑃1 гиперплоскостью в R𝑛+1. В предлагаемой статье это называется рассечением Брунна. Для строго неравенства 𝑉𝑛(𝑃) > 𝑣 оставалось неболь-
шим "шевелением" перейти от тела 𝑃1 к другому выпуклому телу ̃︀ 𝑃1, 𝑉𝑛( ̃︀ 𝑃1) = 𝑣, так, что 𝑉𝑛(𝑃) > 𝑉𝑛( ̃︀ 𝑃), где ̃︀ 𝑃 – новое сечение в гиперплоскости 𝐿, возникающее после замены 𝑃1
на ̃︀ 𝑃1. Поскольку 𝑉𝑛( ̃︀ 𝑃) > 𝑣, то 𝑉𝑛(𝑃) > 𝑣. Проще всего такая замена 𝑃1 на ̃︀ 𝑃1 осуществляется в случае выпуклых многогранников 𝑃0, которыми можно приближать выпуклые тела сколь угодно близко. Совсем просто требуемая замена 𝑃1 на ̃︀ 𝑃1 осуществляется, когда в качестве 𝑃0 выступают 𝑛-мерные симплексы, на которые выпуклый многогранник может разбиваться рассечениями Брунна. До настоящего времени не предлагался очерченный выше достаточно наивный естественный геометрический способ доказательства строгого неравенства 𝑉𝑛(𝑃) > 𝑣 как бы в лоб может из-за того, что изначально теорема форму-
лировалась не для выпуклых многогранников 𝑃0, 𝑃1, а для произвольных выпуклых тел.
Главная же причина, по мнению автора, заключается в алгебраическом представлении 𝑃 = (1 − 𝑡)𝑃0 + 𝑡𝑃1, где 𝑡 – отношение расстояния от 𝐿0 до 𝐿 к расстоянию от 𝐿0 до 𝐿1,
0 < 𝑡 < 1. Это приводит к соблазну переходить в доказательствах теоремы от R𝑛+1 к R𝑛 и использовать эквивалентную формулировку теоремы, считая 𝐿0 = 𝐿1 = R𝑛. В результате от ситуации общего положения, когда 𝐿0 ̸= 𝐿1, перешли в особенность 𝐿0 = 𝐿1, в условиях которой существенно уменьшаются возможности для привлечения геометрической интуиции и, как следствие, уменьшаются возможности для более простых наглядных геометрических обоснований неравенства 𝑉𝑛(𝑃) > 𝑣. Настоящей статьёй показывается, что при доказательстве теоремы в эквивалентной формулировке следует, напротив, простран-
ство R𝑛 включать в R𝑛+1 и использовать изначальную формулировку теоремы, когда основным инструментом доказательства элементарными средствами становится рассечение Брунна. Справедливости ради следует отметить, что многочисленные приложения настоящей теоремы, полученные Минковским и другими авторами, связаны как раз c её эквивалентной формулировкой, со смешанными объёмами, с алгебраическими представлениями
𝑃 = (1 − 𝑡)𝑃0 + 𝑡𝑃1, называемыми суммами Минковского.

Об авторе

Фёдор Михайлович Малышев
Математический институт им. В. А. Стеклова РАН
Россия


Список литературы

1. Бураго, Ю. Д., Залгаллер, В. А. 1980, "Геометрические неравенства." Наука, Л., 288 с.

2. Федерер, Г. 1987, "Геометрическая теория меры." Наука, Москва, 760 с.

3. Булдыгин, В. В., Харазишвили, А. Б., 1985, "Неравенство Брунна – Минковского и его приложения." Наукова Думка, Киев, 200 с.

4. Gardner, R. J. 2002, "The Brunn–Minkowski inequality" , Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society, vol. 39, no. 3, pp. 355–405.

5. Brunn, H. 1887, "Uber Ovale und Eiflachen." Inag. Diss., Munchen, 86 pp.

6. Делоне, Б. Н. 1936, "Доказательство неравенства Брунна – Минковского" , Успехи математических наук, в. 2, стр. 39—46.

7. Minkowski, H. 1896, 1910, "Geometrie der Zahlen." Leipzig-Berlin, 278 pp.

8. Хадвигер, Г. "Лекции об объёме, площади поверхности и изометрии." Наука, Москва, 416 c.

9. Лейхтвейс, К. 1985, "Выпуклые множества." Наука, М., 336 c.

10. Бляшке, В. 1967, "Круг и шар." Наука, М., 232 с.

11. Schneider, R. 2013, "Convex Bodies: The Brunn–Minkowski theory" Second expanded edition. Encyclopedia of Mathematics and Its applications, 151. Cambridge University Press,

12. Cambridge, xvii+736 pp.

13. Barthe, F. 2006, "The Brunn–Minkowski theorem and related geometric and functional inequalities" , Proc. International Congress Math.,Madrid, Spain, pp. 1529–1546.

14. Ball, K. 2004, "An Elementary Introduction to Monotone Transportation" LNM, no. 1850, pp. 41–52.

15. Александров, А. Д. 1950, "Выпуклые многогранники." ГИТТЛ, М. – Л., 428 c.

16. Делоне, Б. Н. 1936, "Герман Минковский" , Успехи математических наук, в. 2, стр. 32 – 38.

17. Bollobas, S., Leader, I. 1996, "Sums in the grid" , Discrete Math., no. 6, pp. 31–48.

18. Gardner, R. J., Gronchi, P. 2001, "A Brunn–Minkowski inequality for the integer lattice", Trans. Amer. Math. Soc., no. 353, pp. 3995–4024.

19. Lv, S. 2010, "Dual Brunn–Minkowski inequality for volume differences" , Geom. Dedicata, no. 145, pp. 169–180.

20. Salani, P. 2011, "Convexity of solutions and Brunn– Minkowski inequalities for Hessian equations in R3" , Andvances in Math., vol. 229, no. 3, pp. 1924–1948.

21. Bobkov, S. G., Madiman, M. 2012, "Reverse Brunn–Minkowski and reverse entopy power inequalities for convex measures" , Journal of Func. Anal., no. 7, pp. 3309–3339.

22. Lutwak, E., Bor¨oczky, K. J., Yang, D., Zhang, G. 2012, "The log–Brunn–Minkowski inequality", Advances in Math., no. 3–4, pp. 1974–1997.

23. Gardner, R. J., Hug, D., Weil, W. 2014, "The Orlicz–Brunn–Minkowski theory: A general framework, additions, and inequalities" , J. Diff. Geom., no. 3, pp. 427–476.

24. Berndtsson, B. 2015, "A Rrunn–Minkowski type inequalities for Fano manifolds and some uniqueness theorems in Kahler geometry" , Inventiones math., vol. 200, no. 1, pp. 149–200.

25. Timergaliev, B. S. 2016, "Generalization of the Brunn–Vinkowski inequalitybin the Form of Hadwiger for Power Moments" , Lobachevskii J. Math., vol. 37, no. 6, pp. 794–806.

26. Белоусов, Е. Г. 1977, "Введение в выпуклый анализ и целочисленное программирование." МГУ, М., 196 с.

27. Грубер, П. М., Леккеркеркер, К. Г. 2008, "Геометрия чисел." Наука, М. 716 стр.

28. Айгнер, М., Циглер, Г. 2006, "Доказательства из Книги. Лучшие доказательства со времён Евклида до наших дней." Мир, М., 256 стр.

29. Малышев, Ф. М. 2019, "Элементарное доказательство теоремы Брунна–Минковского", Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы, приложения и проблемы истории. Материалы XVII Международной конференции, посвящённой столетию со дня рождения профессора Н.И. Фельдмана и девяностолетию со дня рождения профессоров А.И. Виноградова, А.В. Малышева и Б.Ф. Скубенко. ТГПУ им. Л. Н. Толстого, Тула, стр. 173–177.

30. Малышев, Ф. М. 2020, "Доказательство теоремы Брунна – Минковского элементарными методами" , Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и её прил. Темат. обз., 182,

31. ВИНИТИ РАН, М., 70–94.

32. Малышев, Ф. М. 2019, "Новое доказательство неравенства Брунна–Минковского" , Классическая и современная геометрия. Материалы Международной конференции, посвящённой 100-летию со дня рождения В. Т. Базылёва. МПГУ, М., стр. 111–113.

33. Малышев, Ф. М. 1997, "Оптимизационная задача для неравенства Брунна-Минковского", Труды МИАН, 218, Наука, М., стр. 262–265.


Для цитирования:


Малышев Ф.М. Завершение доказательства теоремы Брунна элементарными средствами. Чебышевский сборник. 2021;22(2):160-182. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-2-160-182

For citation:


Malyshev F.M. Completion of the proof of Brunn’s theorem by elementary means. Chebyshevskii Sbornik. 2021;22(2):160-182. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-2-160-182

Просмотров: 19


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)