Расширения Любина — Тейта и модуль Карлица над проективной прямой: явная связь
Аннотация
В данной статье рассматриваются различные подходы к построению максимальных абелевых расширений для локальных и глобальных геометрических полей. Теория Любина — Тейта играет ключевую роль в построении максимального Абелева расширения для локальных геометрических полей. В случае глобальных геометрических полей особый интерес представляют модули Дринфельда. В настоящей работе рассматривается самый простой частный случай модулей Дринфельда для проективной прямой, который называется модулем Карлица.
Во введении мы приводим мотивацию и краткую историческую справку по затронутым в работе темам.
В первом и втором разделах мы приводим краткую информацию о модулях Любина- Тейта и модуле Карлица.
В третьем разделе мы приводим два основных результата:
• установлена явная связь между теориями глобальных и локальных полей в геометрическом случае проективной прямой над конечным полем: доказано, что башня расширения модуля Карлица индуцирует башню расширений Любина-Тейта.
• установлена связь между отображениями Артина расширений функционального поля произвольной проективной гладкой неприводимой кривой и расширениями пополнений локальных колец в замкнутых точках этой кривой.
В последнем разделе мы формулируем различные открытые задачи и интересные направления для дальнейших исследований, которые включают обобщение первого результата для произвольной гладкой проективной кривой над конечным полем и рассмотрение модулей Дринфельда более высокого ранга.
Об авторах
Никита Вячеславович Елизаров
Санкт-Петербургский государственный университет
Россия
Россия
магистрант
Сергей Владимирович Востоков
Санкт-Петербургский государственный университет
Россия
Россия
доктор физико-математических наук
Список литературы
1. Востоков С. В. Явная форма закона взаимности //Известия Российской академии наук.
2. Серия математическая. – 1978. – Т. 42. – №. 6. – P. 1288-1321.
3. Востоков С. В. Символ Гильберта в дискретно нормированном поле //Записки научных семинаров ПОМИ. – 1979. – Т. 94. – №. 0. – С. 50-69.
4. Шафаревич И. Р. Общий закон взаимности // Математический сборник. – 1950. – Т. 26. – №. 1. – С. 113-146.
5. Silverman, Joseph H. The arithmetic of elliptic curves. Vol. 106. Springer Science & Business Media, 2009. – Т. 106.
6. Strickland N. P. Formal schemes and formal groups //Contemporary Mathematics. – 1999. – Т. 239. – P. 263-352.
7. Yoshida T. Local class field theory via Lubin-Tate theory //Annales de la Facult´e des sciences de Toulouse: Math´ematiques. – 2008. – Т. 17. – №. 2. – P. 411-438.
8. Goss D. Basic structures of function field arithmetic. – Springer Science & Business Media, 2012.
9. Rosen M. Number theory in function fields. – Springer Science & Business Media, 2013. – Т. 210.
10. P´eter T´oth. Geometric abelian class field theory. – Master Thesis, Universiteit Utrecht, 2011.
11. Ивасава К. Локальная теория полей классов. – Мир, 1983.
12. Thakur D. S. Function field arithmetic. – World Scientific, 2004.
Для цитирования:
Елизаров Н.В., Востоков С.В. Расширения Любина — Тейта и модуль Карлица над проективной прямой: явная связь. Чебышевский сборник. 2021;22(2):90-103. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-2-90-103
For citation:
Elizarov N.V., Vostokov S.V. Lubin–Tate extensions and Carlitz module over a projective line: an explicit connection. Chebyshevskii Sbornik. 2021;22(2):90-103. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-2-90-103
Просмотров: 15
Послать статью по эл. почте 