Мы изучаем точное неравенство Маркова--Бернштейна--Никольского вида

$\|D^{s}u\|_{\infty}\le \\C_{p}(n;s)\|u\|_{p}$ при $p\in [1,\infty]$ для

тригонометрических и алгебраических полиномов $u$ степени не выше $n$ в весовом

пространстве $L^{p}$ с дифференциальным оператором Гегенбауэра--Данкля $D$. В

частных случаях эти неравенства сводятся к классическим неравенствам теории

приближений типа Маркова, Бернштейна, Никольского, которым посвящены

многочисленные работы. Мы применяем результаты В.А. Иванова (1983, 1992),

В.В. Арестова и М.В. Дейкаловой (2013, 2015), F. Dai, D.V. Gorbachev и

S.Yu. Tikhonov (2020) для алгебраических констант в $L^{p}$ на компактных

римановых многообразий ранга 1 (включая евклидову сферу) и отрезке с весом

Гегенбаура, ссылаемся на работы E. Levin и D. Lubinsky (2015), M.I. Ganzburg

(2017, 2020), обзор классических результатов G.V. Milovanovi'c,

D.S. Mitrinovi\'c и Th.M. Rassias (1994).

Ранее мы изучили случай $s=0$. В этой работы мы рассматриваем случай $s\ge 0$.

Наш основной результат заключается в доказательстве существования в

тригонометрическом случае для чётных $s=2r$ экстремальных полиномов $u_{*}$, которые

действительные, четные и $C(n;s)=\frac{|D^{s}u_{*}(0)|}{\|u_{*}\|_{p}}$.

С помощью этого факта доказывается взаимосвязь с алгебраической константой для

веса Гегенбауэра. С одной стороны, это позволяет автоматически охарактеризовать

экстремальные алгебраические полиномы. С другой стороны, известные

алгебраические результаты переносятся на более общий тригонометрический

вариант. Основным методом доказательства является применение гармонического

анализа Гегенбауэра--Данкля, построенного Д.В. Чертовой (2009). Как следствие,

мы приводим точные константы при $p=2,\,\infty$ (при помощи результатов

В.А. Иванова), даем соотношения ортогональности и двойственности (доказываемые

методами выпуклого анализа из теории приближений), устанавливаем один

асимптотический результат типа Левина--Любинского (благодаря связи с

многомерной константой Никольского для сферических полиномов).