Оценки константы совместных диофантовых приближений

Данная работа посвящена разработке нового подхода для оценки снизу константы наилучших диофантовых приближений. История вопроса оценки константы наилучших диофантовых приближений восходит к П. Г. Дирихле. С течением времени подходы, применяемые для решения этой задачи претерпели серьезные изменения. Из алгебры (П. Г. Дирихле, А. Гурвиц, Ф. Фуртвенглер) это задача перешла в область геометрии чисел (Г. Дэвенпорт, Дж. В. С. Касселс). Нельзя не отметить такую интересную составляющую данной проблематики, как тесная взаимосвязь диофантовых приближений с геометрией чисел вообще, и алгебраическими решетками в частности (Дж. В. С. Касселс, А. Д. Брюно). Это дало новые возможности, как для применения уже известных результатов, так и для применения новых подходов в проблеме наилучших диофантовых приближений (А. Д. Брюно, Н. Г. Мощевитин).

В середине двадцатого века Г. Дэвенпортом была найдена фундаментальная связь значение константы наилучших совместных диофантовых приближений и критического определителя звездного тела специального вида. Позднее Дж. В. С. Касселс перешел от непосредственного вычисления критического определителя к оценке его значения с помощью вычисления наибольшего значения V_n,s – объема параллелепипеда с центром в начале координат обладающего определенными свойствами. Этот подход позволил получить оценки константы наилучших совместных диофантовых приближений для n = 2, 3, 4 (см. работы Дж. В. С. Касселса, Т. Кьюзика, С. Красса).

В данной работе, основываясь на описанном выше подходе, получены оценки n = 5 и n = 6. Идея построения оценок отличается от работы Т. Кьюзика. С помощью численных экспериментов были получены вначале примерные, а затем и точные значения оценок V_n,s. Доказательство этих оценок достаточно громоздко и представляет в первую очередь техническую сложность. Другим отличием построенных оценок является возможность обобщить их на любую размерность.

В рамках доказательства оценок константы наилучших диофантовых приближений нами был решен ряд многомерных оптимизационных задач. При их решении мы достаточно активно использовали математический пакет Wolfram Mathematica. Эти результаты являются промежуточным шагом для аналиттических доказательств оценок V_n,s и константы наилучших диофантовых приближений C_n для n ≥ 3.

В процессе численных экспериментов была также получена интересная информация о структуре значений V_n,s. Эти результаты достаточно хорошо согласуется с результатами полученными в работах С. Красса. Вопрос о структуре значений V_n,s для больших размерностей мало исследован и может представлять значительный интерес как с точки геометрии чисел, так и с точки теории диофантовых приближений.

1. Adams W. W. Simultaneous Diophantine approximations and cubic irrationals // Pacific journal of mathematics. 1969. Vol. 30. No. 1. P. 1–14.

2. Adams W. W. The best two-dimensional diophanite approximation constant for cubic irrtionals // Pacific journal of mathematics. 1980. Vol. 91. No. 1. P. 29–30.

3. Bernstein L. A 3-Dimensional Periodic Jacobi-Perron Algorithm of Period Length 8 // Journal of Number Theory, 1972, Vol. 4, Issue 1. P. 48–69.

4. Blichfeldt H. A new principle in the geometry of numbers, with some applications // Trans. Amer. Math. Soc. 1914. Vol. 15. P. 227–235.

5. Cassels J. W. S. Simultaneous Diophantine approximation // J. London Math. Soc. 1955. Vol. 30. P. 119–121.

6. Cusick T. W. Estimates for Diophantine approximation constants // Journal of Number Theory. 1980. Vol. 12 (4). P. 543–556

7. Cusick J. W. The two dimensional diophanite approximation constant // Pacific journal of mathematics. 1983. Vol. 105 (1). P. 53–67.

8. Davenport. H. On a theorem of Furtwängler // J. London Math. Soc. 1955. Vol. 30. P. 186–195.

9. Dirichlet L. G. P. Verallgemeinerung eines Satzes aus der Lehre von den Kettenbruchen nebst einigen Anwendungen auf die Theorie der Zahlen // S. B. Preuss. Akad. Wiss. 1842, P. 93–95.

10. Euler L. De relatione inter ternas pluresve quantitates instituenda // Petersburger Akademie Notiz. Exhib. August 14, 1775 // Commentationes arithmeticae collectae. V. II. St. Petersburg. 1849. P. 99–104.

11. Finch S. R. Mathematical Constants. Cambridge University Press, 2003 (Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Book 94).

12. Fujita H. The minimum discriminant of totally real algebraic fields of degree 9 with cubic subfields // Mathematics of Computation. 1993. Vol. 60, No. 202. P. 801–810.

13. Furtwängler H. Über die simulatene Approximation von Irrationalzahlen. I // Math. Ann. 1927. Vol. 96. P. 169–175.

14. Furtwängler H. Über die simulatene Approximation von Irrationalzahlen. II // Math. Ann. 1928. Vol. 99. P. 71–83.

15. Hunter J. The minimum discriminant of quintic fields // Proc. Glasgow Math. Assoc. 1957. Vol. 3. P. 57–67.

16. Hurwitz A. Über die angenaherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationaleBriiche // Math. Ann. 1891. Vol. 39. P. 279–284.

17. Jacobi C. G. J. Allgemeine Theorie der Kettenbruchanlichen Algorithmen, in welchenjede Zahl aus drei vorhergehenden gebildet wird // J. Reine Angew. Math. 1868. Vol. 69. P. 29–64. // Gesammelte Werke, Bd. IV. Berlin: Reimer. 1891. P. 385–426.

18. Klüners J., Malle, G. A Database for Field Extensions of the Rationals. LMS Journal of Computation and Mathematics. 2001. Vol. 4. P. 182–196.

19. Koksma J., Meulenbeld B. Sur le theoreme de Minkowski, concernant un systeme de forms lineaires reelles. I, II, III, IV // Kon. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Sect. Sci. 1942. Vol. 45. P. 256–262, 354–359, 471–478, 578–584.

20. Krass S. Estimates for n-dimensional Diophantine approximation constants for n ≥ 4 // J. Number Theory. 1985. Vol. 20(2). P. 172–176.

21. Krass S. The N-dimensional diophantine approximation constants // Australian Mathematical Society. 1985. Vol 32(2). P. 313–316.

22. Lanker M., Petek P., Rugeji M. S. The continued fractions ladder of specific pairs of irrationals // arXiv.org. 2011. Дата обновления: 30.06.2011. URL: https://arxiv.org/abs/1108.0087 (дата обращения: 10.04.2019).

23. Mack J. M. Simultaneous Diophantine approximation // J. Austral. Math. Soc. A. 1977. Vol. 24. P. 266–285.

24. Mayer J. Die absolut-kleinsten Diskriminanten der biquadratischen Zahlkorper // S.-B. Akad. Wiss. Wien Abt. Ila. 1929. Vol. 138. P. 733–742.

25. Minkovski H. Geometrie der Zahlen. Berlin: Teubner, 1896.

26. Mordell L. Lattice points in some n-dimensional non-convex regions. I, II // Kon. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Sect. Sci. 1946. Vol. 49. P. 773–781, 782–792.

27. Mullender P. Lattice points in non-convex regions. I // Kon. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Sect. Sci. 1948. Vol. 51. P. 874–884.

28. Murru N. On the Hermite problem for cubic irrationaliti // arXiv.org. 2013. Дата обновления: 16.01.2014. URL: https://arxiv.org/abs/1305.3285v3 (дата обращения: 10.04.2019).

29. Nowak W. G. A note on simultaneous Diophantine approximation // Manuscr. Math. 1981. Vol. 36. P. 33–46.

30. Nowak W. G. A remark concerning the s-dimensional simultaneous Diophantine approximation constants // Graz. Math. Ber. 1993. Vol. 318. P. 105–110.

31. Nowak W. G. Lower bounds for simultaneous Diophantine approximation constants. // Comm. Math. 2014. Vol. 22, Is. 1, P. 71–76.

32. Nowak W. G. Simultaneous Diophantine approximation: Searching for analogues of Hurwitz’s theorem // In: T.M. Rassias and P.M. Pardalos (eds.), Essays in mathematics and its applications. Springer/ Switzerland. 2016. P. 181–197.

33. Odlyzko A. M. Bounds for discriminants and related estimates for class numbers, regulators and zeros of zeta functions : a survey of recent results // Journal de Th’eorie des Nombres de Bordeaux. 1990. Tome 2. No. 1. P. 119–141.

34. Perron O. Grundlagen fur eine Theorie des Jacobischen Ketten-bruchalgorithmus // Math. Ann. 1907. Vol. 64. P. 1-76.

35. Spohn W.G. Blichfeldt’s theorem and simultaneous Diophantine approximation // Amer. J. Math. 1968. Vol. 90. pp. 885–894.

36. Szekers G. The n-dimensional approximation constant // Bull. Austral. Math. Soc. 1984. Vol. 29. P. 119–125.

37. Woods A. C. The asymetric product of three homogenous linear forms // Pacific J. Math. 1981. Vol. 93. P. 237–250.

38. Брюно А. Д. Алгоритм обобщенной цепной дроби // Препринт N45. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша. 2004.

39. Брюно А. Д. Структура наилучших диофантовых приближений // ДАН. 2005. Том 402. No. 4.

40. Брюно А. Д. Алгоритм обобщенной цепной дроби // ДАН. 2005. Том. 402. No. 6.

41. Касселс Дж. В. С. Введение в геометрию чисел: Пер. с англ. – М.: Мир, 1965.

42. Мощевитин. Н. Г. К теореме Блихфельдта-Мюллендера-Спона о совместных приближениях // Тр. МИАН. 2002. Том 239. С. 268–274.

43. Прасолов В. В. Многочлены. – М.: МЦНМО, 2001.

44. Хинчин А.Я. Цепные дроби. – М.: Физматгиз, 1961.

45. Шмидт В. М. Диофантовы приближения: Пер. с англ. – М.: Мир, 1983.

46. A Database for Number Fields // A Database for Number Fields. URL: http://galoisdb.math.upb.de/ (дата обращения: 05.05.2018).

47. Басалов Ю. А. Геометрическая интерпретация проблемы наилучших диофантовых приближений // V всероссийская научно-практическая конференция ППС, аспирантов, магистрантов, соискателей ТГПУ им. Л. Н. Толстого .Университет XXI века: исследования в рамках научных школ. 2015.

48. Басалов Ю. А. О наилучших приближениях кубических иррациональностей // Всероссийская научно-практическая конференция .Университет XXI века: научное измерение. 2016.

49. Реброва И. Ю., Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н., Балаба И. Н., Есаян А. Р., Басалов Ю. А., Басалова А. Н., Лямин М. И., Родионов А. В. Теоретико-числовой метод в приближенном анализе и его реализация в ПОИВС .ТМК. - II // Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2017.

50. Басалов Ю. А. Компьютерное моделирование и неполные частные кубических иррациональностей // IV международная конференция .Многомасштабное моделирование структур, строение вещества, наноматериалы и нанотехнологии.. ТГПУ им. Л. Н. Толстого. 2017. С. 97–100.

51. Basalov Yu. A. On estimating the constant of simultaneous Diophantine approximation // arXiv.org. 2019. Дата обновления: 09.04.2019. URL: https://arxiv.org/abs/1804.05385 (дата обращения: 10.04.2019).

52. Басалов Ю. А. Об оценке константы наилучших диофантовых приближений для n > 4 // XV Международная конференция Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения, посвященной столетию со дня рождения профессора Коробова Николая Михайловича. 2018. С. 245–248.

53. Ю. А. Басалов. Об истории оценок константы наилучших совместных диофантовых приближений // Чебышевский сборник, T. 19, Вып. 2, 2018, С. 388-405. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-394-411

54. Басалов Ю. А. О методах оценки снизу константы совместных диофантовых приближений // Материалы Международного молодежного научного форума "ЛОМОНОСОВ-2019"/ Отв. ред. И. А. Алешковский, А. В. Андриянов, Е. А. Антипов. [Электронный ресурс]. М: МАКС Пресс, 2019. – 1 электрон. опт. диск (DVD-ROM); 12 см. – Систем. требования: ПК с процессором 486+; Windows 95; дисковод DVD-ROM; Adobe Acrobat Reader. – 1600 Мб. 11000 экз.

55. Басалов Ю. А. О методах оценок критических определителей // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы, приложения и проблемы истории: Материалы XVI Междунар. Конф., посвященной 80-летию со дня рождения профессора Мишеля Деза. Тула: Тул. гос. пед. ун-т им. Л. Н. Толстого, 2019. С. 227–228.

56. Басалов Ю. А. Оценка константы наилучших диофантовых приближений для n=5 и n=6 // Чебышевский сборник, T. 20, Вып. 1, 2019, с. 66–81. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-20-1-66-81