Об экстремальных задачах типа Никольского – Бернштейна и Турана для преобразования Данкля
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-3-394-400
Аннотация
Изучается взаимосвязь между экстремальными задачами типа Турана и Никольского – Бернштейна на Rd с весом Данкля. Задача Турана состоит в нахождении супремума заданного момента положительно определенной (относительно преобразования Данкля) функции с носителем в евклидовом шаре и фиксированным значением в нуле. В точном L1-неравенстве Никольского–Бернштейна оценивается супремум-норма лапласиана Данкля целой функции экспоненциального сферического типа с единичной L1-нормой. Также отмечается связь с экстремальными задачами типа Фейера и Бомана. Преобразование Данкля покрывает случай классического преобразования Фурье в случае единичного веса.
Неравенства Никольского - -Бернштейна являются классическими в теории приближений, а задачи типа Турана имеют приложения в метрической геометрии. Тем не менее мы доказываем, что они имеют один и тот же ответ, который явно выписывается. Простое доказательство опирается на наши старые результаты из теории решения экстремальных задач для преобразования Данкля.
Список литературы
1. Arestov V. V., Berdysheva E. E. The Turán problem for a class of polytopes // East J. Approx. 2002. Vol. 8, no. 2. P. 381–388.
2. Bianchi G., Kelly M. A Fourier analytic proof of the Blaschke–Santaló inequality // Proc. Amer. Math. Soc. 2015. Vol. 143. P. 4901–4912.
3. Dai F., Gorbachev D., Tikhonov S. Nikolskii constants for polynomials on the unit sphere // arXiv:1708.09837. 2017; J. d’Analyse Math. 2019 (to appear).
4. Gorbachev D. V. An extremal problem for periodic functions with supports in the ball // Math. Notes. 2001. Vol. 69, no. 3–4. P. 313–319.
5. Gorbachev D. V. Selected problems of function theory and approximation theory, and their applications. Tula: Grif and Co., 2005. (In Russ.)
6. Gorbachev D. V., Ivanov V. I., Ofitserov E. P., Smirnov O. I. Some extremal problems of harmonic analysis and approximation theory // Chebyshevskii Sbornik. 2017. Vol. 18, no. 4. P. 139–166. (In Russ.)
7. Gorbachev D. V., Ivanov V. I. Bohman extremal problem for the Dunkl transform // Proc. Steklov Inst. Math. 2017. Vol. 297 (Suppl 1). P. 88–96.
8. Gorbachev D. V., Tikhonov S. Y. Wiener’s problem for positive definite functions // Math. Zeit. 2018. Vol. 289, no. 3–4. P. 859-874.
9. Gorbachev D. V., Dobrovolskii N. N. Nikolskii constants in Lp(R, |x|2α+1dx) spaces // Chebyshevskii Sbornik. 2018. Vol. 19, no. 2. P. 67–79. (In Russ.)
10. Gorbachev D. V. Nikolskii – Bernstein constants for nonnegative entire functions of exponential type on the axis // Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN. 2018. Vol. 24, no. 4. P. 92–103. (In Russ.)
11. Gorbachev D. V., Ivanov V. I. Nikol’skii – Bernstein constants for entire functions of exponential spherical type in weighted spaces // Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN. 2019. Vol. 25, no. 2. P. 75–87. (In Russ.)
12. Gorbachev D. V., Ivanov V. I. Tur’an, Fej’er and Bohman extremal problems for the multivariate Fourier transform in terms of the eigenfunctions of a Sturm–Liouville problem // Sb. Math. 2019. Vol. 210, no. 6. P. 809–835.
13. Ivanov A. V. Some extremal problem for entire functions in weighted spaces // Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki. 2010. No. 1. P. 26–44. (In Russ.)
14. Kolountzakis M. N., R’ev’esz Sz.Gy. On a problem of Turán about positive definite functions // Proc. Amer. Math. Soc. 2003. Vol. 131. P. 3423–3430.
15. Rösler M. Dunkl Operators: Theory and Applications. Lecture Notes in Math. Vol. 1817. Berlin: Springer, 2003. P. 93–135.
16. Siegel C. L. Über Gitterpunkte in konvexen Körpern und damit zusammenhängendes Extremal problem // Acta Math. 1935. Vol. 65. P. 307–323.
17. Vaaler J. D. Some extremal functions in Fourier analysis // Bull. Amer. Math. Soc. (New Series). 1985. Vol. 12, no. 2. P. 183–216.
Рецензия
Для цитирования:
Горбачев Д.В., Добровольский Н.Н. Об экстремальных задачах типа Никольского – Бернштейна и Турана для преобразования Данкля. Чебышевский сборник. 2019;20(3):394-400. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-3-394-400
For citation:
Gorbachev D.V., Dobrovol’sky N.N. Extremal Nikolskii – Bernstein- and Turán-type problems for Dunkl transform. Chebyshevskii Sbornik. 2019;20(3):394-400. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-3-394-400
Просмотров:
349
Послать статью по эл. почте 