Об одной аддитивной задаче Хуа-Ло-Кена

Аннотация

Пусть X достаточно большое вещественное число и $k \geq2$ натуральное число, M множества натуральных чисел не превосходящие X, которые непредставимы в виде суммы простого и фиксированной степени простого числа, $E_k(X)=\card M$.

В настоящей работе доказана теорема

Теорема. Для достаточно больших X справедлива оценка $$E_k (X)\ll X^{\gamma},$$
где
$$ \gamma<\left\{
\begin{array}{lll}
1-(17612,983k^2 (\ln k+6,5452))^{-1}, & \text{при} & 2\leq k\leq 205,\\[1mm]
1-(68k^3 (2\ln k+\ln\ln k+2,8))^{-1}, & \text{при} & k>205,\\[1mm]
1-(137k^3 \ln k)^{-1}, & \text{при} & k>e^{628}.
\end{array}\right.
$$

В частности из этой теоремы следует, что оценка и $$\gamma<1-(137k^3 \ln k)^{-1},$$ полученная В. А. Плаксиным для достаточно больших k,
остается справедливой при $\ln k>628$.