Периодические непрерывные дроби и $S$-единицы с нормированиями второй степени в гиперэллиптических полях

Аннотация

К настоящему времени метод непрерывных дробей позволил
глубоко изучить проблему существования и построения нетривиальных $S$-единиц
в гиперэллиптических полях в случае, когда множество $S$ состоит из двух линейных нормирований.
Данная статья посвящена более общей проблеме, а именно
проблеме существования и построения фундаментальных $S$-единиц в гиперэллиптических полях
для множеств $S$, содержащих нормирования второй степени.
Ключевым является случай, когда множество $S=S_h$
состоит из двух сопряжённых нормирований,
связанных с неприводимым многочленом $h$ второй степени.
Основные результаты получены с помощью
теории обобщенных функциональных непрерывных дробей
в совокупности с геометрическим подходом к проблеме кручения
в якобиевых многообразиях гиперэллиптических кривых.

Нами разработана теория обобщенных функциональных непрерывных дробей
и связанных с ними дивизоров гиперэллиптического поля,
построенных с помощью нормирований второй степени.
Эта теория позволила нам найти новые эффективные методы для поиска и построения
фундаментальных $S_h$-единиц в гиперэллиптических полях.

В качетсве демонстрации полученных результатов,
мы подробно разбираем алгоритм поиска фундаментальных $S_h$-единиц
для гиперэллиптических полей рода 3 над полем рациональных чисел
и приводим явные вычислительные примеры гиперэллиптических
полей $L = \mathbb{Q}(x)(\sqrt{f})$ для многочленов $f$ степени 7,
обладающих фундаментальными $S_h$-единицами больших степеней.