МНОГООБРАЗИЕ ПОЛУКОЛЕЦ, ПОРОЖДЕННОЕ ДВУХЭЛЕМЕНТНЫМИ ПОЛУКОЛЬЦАМИ С КОММУТАТИВНЫМ ИДЕМПОТЕНТНЫМ УМНОЖЕНИЕМ

В статье исследовано многообразие N, порожденное двухэлементными коммутативными мультипликативно идемпотентными полукольцами. При изучении многообразий полуколец исходными служат две класси- ческие теоремы Биркгофа (о характеризации многообразий алгебраических структур и о подпрямой разложимости). J. A. Kalman в 1971 году доказал, что с точностью до изоморфизма существует три подпрямо неразложимых коммутативных идемпотентных полукольца, обладающих двойственным законом дистрибутивности x + yz = (x+y)(x+z): двухэлементное поле, двухэлементное монополукольцо, а также некоторое трехэлементное полукольцо. В 1999 году S. Ghosh показал, что произвольное коммутативное мультипликативно идемпотентное полукольцо с тождеством x + 2xy = x будет подпрямым произведением булева кольца и дистрибутивной решетки. Аналогичный результат для класса всех мультипликативно идемпотентных полуколец с нулем и единицей, обладающих тождеством 1 + 2x = 1, получил F. Guzman в 1992 году. Показано, что любое такое полукольцо коммутативно и является подпрямым произведением семейства двухэлементных полей и двухэлементных цепей, а также может быть порождено одним трехэлементным полукольцом. Нами в даной работе получены следующие результаты. Доказаны некоторые необходимые условия подпрямой неразложимости полуколец из многообразия M всех полуколец с коммутативным идемпотентным умножением. Показано, что произвольное полукольцо из M является подпрямым произведением двух коммутативных мультипликативно идемпотентных полуколец, одно из которых обладает тождеством 3x = x, а другое — тождеством 3x = 2x. Найдены все подпрямо неразложимые полукольца в N. Описаны под- многообразия в N. Показано, что в классе M многообразие N задается одним тождеством x + 2xy + yz = x + 2xz + yz. Доказано, что решетка всех подмногообразий многообразия N является 16-элементной булевой решеткой.

1. Верников Б. М., Волков М. В. Дополнения в решетках многообразий и квазимногообразий // Изв. вузов. Математика. 1982. №11. C. 17–20.

2. Вечтомов Е. М. Введение в полукольца. Киров: Изд-во ВГПУ, 2000. 44 с.

3. Вечтомов Е. М., Петров А. А. Некоторые многообразия коммутативных мультипликативно идемпотентных полуколец // Современные проблемы математики и ее приложений: труды 45-й Международной молодежной школы-конференции, посв. 75-летию В. И. Бердышева. Екатеринбург, 2014. С. 10–12.

4. Вечтомов Е. М., Петров А. А. О многообразии полуколец с идемпотентным умножением // Алгебра и логика: теория и приложения: тез. докл. Между- нар. конф., посвящ. памяти В.П. Шункова. Красноярск, 2013. C. 33–34.

5. Вечтомов Е. М., Петров А. А. О подмногообразиях многообразия полуколец с полурешеточным умножением // Алгебра и математическая логика: теория и приложения: матер. Междунар. конф. Казань, 2014. С. 155–156.

6. Вечтомов Е. М., Петров А. А. О подпрямо неразложимых коммутативных мультипликативно идемпотентных полукольцах // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: тез. докл. XI Междунар. конф. Саратов, 2013. C. 14–15.

7. Вечтомов Е. М., Петров А. А. О полукольцах с полурешеточным умножением // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: материалы XII Международной конф., посв. 80-летию проф. В. Н. Латышева. Тула, 2014. С. 154–157.

8. Вечтомов Е. М., Петров А. А. Полукольца с коммутативным идемпотентным умножением // Математика в современном мире: материалы Международной конференции, посв. 150-летию Д. А. Граве. Вологда, 2013. С. 10–11.

9. Кон П. Универсальная алгебра // М.: Мир, 1968. 351 с.

10. Мальцев А. И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970. 392 c.

11. Петров А. А. Полукольца с условиями идемпотентности // Чебышевский сборник. 2012. Т. XIII, вып. 1(41). С. 118–129.

12. Chermnykh V. V. Functional representations of semirings // Journal of Math. Sci. (New York), 2012. Vol. 187, №2. P. 187–267.

13. Ghosh S. A characterization semirings which subdirect products of rings and distributive lattices // Semigroup Forum, 1999. Vol. 59. P. 106–120.

14. Kalman J. A. Subdirect decomposition of distributive quasilattices // Fund. Math., 1971. Vol. 71. P. 161–163.

15. McKenzie R., Romanowska A. Varieties of ∧-distributive bisemilattices // Contrib. Gen. Algebra: Proc. Klagefurt Conf. Klagefurt, 1979. P. 213–218.

16. Romanowska A. On bisemilattices with one distributive law // Algebra universalis. 1980. Vol. 10. P. 36–47.