Гипотеза Римана как чётность биномиальных коэффициентов

Abstract

Гипотеза Римана имеет много эквивалентных
переформулировок. Часть из них является арифметическими,
то есть утверждениями о свойствах целых или натуральных чисел.
Простейшую логическую структуру имеют переформулировки из
класса $\Pi_1^0$ арифметической иерархии, имеющие вид ``для любых
$x_1,\dots,x_m$ имеет место $A(x_1,\dots,x_m)$'',
где $A$ -- алгоритмически проверяемое отношение.
Примером может служить переформулировка гипотезы Римана в
виде утверждения о том,
что некоторое диофантово уравнение не имеет решений
(такое конкретное уравнение может быть явно указано).

Хотя логическая структура такой переформулировки очень проста,
известные способы построения такого диофантова уравнения
приводят к уравнениям, требующим для своей записи нескольких страниц.
С другой стороны, известны весьма краткие по записи
переформулировки, также принадлежащие классу $\Pi_1^0$.
Примерами могут служить три критерия справедливости гипотезы
Римана, которые предложили Ж.-Л.\,Николас,
Г.\,Робин, и Дж.\,Лагариас. Недостатком этих
переформулировок (по сравнению
с диофантовым уравнением) является использование более ``сложных''
констант и функций, чем натуральные числа и сложение и умножение,
достаточные для построения диофантова уравнения.

В работе приводится система из 9 условий, налагаемых на 9
переменных. Для формулировки этих условий используются только
сложение, умножение, возведение в степень (унарное,
с фиксированным основанием~2), функция ``остаток от деления'',
неравенства, сравнения по модулю и биномиальный коэффициент.
Вся система может быть явно выписана на одной странице.
Доказано, что построеная система условий несовместна в том и только том случае,
когда гипотеза Римана верна.