О количестве простых элементов в некоторых моноидах натуральных чисел

Abstract

В работе исследуется вопрос о числе простых элементов в моноиде $M_{q,1}$, состоящем из натуральных чисел сравнимых с 1 по модулю $q$. При $q>2$ моноид $M_{q,1}$ не является моноидом с однозначным разложением на простые элементы, так как наряду с обычными простыми числами, которые сравнимы с 1 по модулю $q$, в число простых элементов попадают псевдопростые числа, которые являются составными числами. Случай $q=3,4,6$ выделяется из числа других тем, что псевдопростые числа являются произведением двух простых чисел сравнимых с $q-1$ по модулю $q$. Таким образом, для множества простых элементов $P(M_{q,1})$ моноида $M_{q,1}$ в этом случае справедливо равенство $P(M_{q,1})=\mathbb{P}_{q,1}\bigcup(\mathbb{P}_{q,q-1}\cdot\mathbb{P}_{q,q-1})$.

Так как моноид $M_{q,1}$ не имеет однозначности разложения на простые элементы, то дзета-функция
$$
\zeta(M_{q,1}|\alpha)=\sum_{n\in M_{q,1}}\frac{1}{n^\alpha}
$$
моноида $M_{q,1}$ не равна эйлерову произведению
$$
P(M_{q,1}|\alpha)=\prod_{r\in P(M_{q,1})}\left(1-\frac{1}{r^\alpha}\right)^{-1}.
$$
Поэтому, изучение распределения простых элементов в моноиде $M_{q,1}$ с помощью аналитических свойств логарифмической производной дзета-функции моноида не представляется возможным.

Для полноты изложения сначала в работе изучается вопрос о количестве составных чисел, равных произведению двух простых чисел, с помощью неравенств Чебышёва, так как в этом году исполнилось 170 лет со дня выхода первого мемуара П. Л. Чебышёва о простых числах.

Затем с помощью неравенства Бруна-Титчмарша получена верхняя оценка количества составных чисел сравнимых с 1 по модулю $q$ и равных произведению двух простых чисел.

Подход, применённый к общему случаю, затем переносится на случай простых элементов в моноидах $M_{q,1}$ при $q=3,4,6$.

В заключение рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.