ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ МНОГОКРАТНОГО НАЛОЖЕНИЯ БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЙ ДЛЯ ТЕЛ, ОБРАЗОВАННЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ДЕФОРМИРОВАННЫХ ЧАСТЕЙ

В статье приведены и развиты разработанные совместно с профессором МГУ им. М.В.  Ломоносова В.Ан. Левиным подходы к точному аналитическому решению задач о больших  деформациях составных изделий (тел) из несжимаемых изотропных нелинейно-упругих  материалов, части которых предварительно деформированы. Решение этих задач  представляет интерес при анализе напряжений в элементах конструкций, изготавливаемых  из предварительно нагруженных частей. Результаты могут быть использованы для  тестирования промышленного программного обеспечения, предназначенного для  численного моделирования аддитивных технологий. Постановка задач осуществляется на  основе теории наложения больших деформаций и в рамках этой теории может быть  сформулирована следующим образом. Части изделия, первоначально не связанные между  собой, подвергаются начальному деформированию и переходят в промежуточное состояние. Затем эти части соединяются между собой. Соединение происходит по некоторым поверхностям, общим для каждой пары соединяемых частей. Далее тело, составленное из нескольких частей, деформируется как единое целое под действием приложенной к нему  дополнительной нагрузки и переходит в конечное состояние. Предполагается, что на  поверхностях, по которым соединены части тела, выполняются условия идеального  контакта, т.е. векторы перемещений в соединяемых частях изделия на этих поверхностях  совпадают. Точные решения для изотропных несжимаемых материалов найдены с  использованием известных универсальных решений и могут быть рассмотрены как  обобщение этих решений на случай наложения больших деформаций. В статье детально  рассмотрены следующие задачи:

— задача о напряженно-деформированном состоянии в  двух полых круговых упругих цилиндрах (трубах), один из которых был предварительно  деформирован и вставлен в другой цилиндр (задача Ламе-Гадолина);

— задача о кручении  составного цилиндра;

— задача о больших деформациях изгиба составного бруса, состоящего из нескольких предварительно деформированных частей (слоев). Приведены  математические постановки этих задач, методы и некоторые результаты их решения.  Исследовано влияние предварительных деформаций на напряженно-деформированное  состояние, анализируются нелинейные эффекты.

1. Levin V.A. Theory of repeated superposition of large deformations. Elastic and viscoelastic bodies// International Journal of Solids and Structures. 1998. V. 35. P. 2585–2600.

2. Левин В.А. Многократное наложение больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах. М.: Наука. Физматлит, 1999. 224 с.

3. Левин В.А., Зингерман К.М. Плоские задачи многократного наложения больших деформаций. Методы решения. М.: Физматлит, 2002. 272 с.

4. V.A. Levin, K.M. Zingerman, A.V. Vershinin, E.I. Freiman, A.V. Yangirova. Numerical analysis of the stress concentration near holes originating in previously loaded viscoelastic bodies at finite strains// International Journal of Solids and Structures. 2013. Vol. 50. Issue 20-21. P. 3119–3135.

5. Levin V.A., Vershinin A.V. Non-stationary plane problem of the successive origination of stress concentrators in a loaded body. Finite deformations and their superposition// Communications in Numerical Methods in Engineering. 2008. V. 24. P. 2229–2239.

6. Лурье А.И Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

7. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. — 592 с.

8. Rivlin R.S. Large elastic deformations of isotropic materials. VI. Further results in the theory of torsion, shear, and flexure// Philos. Trans. Roy. Soc. London, 1949. A252. P. 173–195.

9. Бартенев Г.М., Хазанович Т.Н. О законе высокоэластичных деформаций сеточных полимеров // Высокомолекулярные соединения. 1960. Т. 2, № 1. С.20–28.

10. Гадолин А.В. Теория орудий, скрепленных обручами. Артиллерийский журнал. 1861, № 12.

11. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука, 1994. 560 с.

12. Левин В.А., Зубов Л.М., Зингерман К.М. Кручение составного нелинейно упругого цилиндра с предварительно напряжённым включением // Докл. РАН. 2013. Т. 453, № 5. С. 507-–510.

13. Levin V.A., Zubov L. M., Zingerman K. M. The torsion of a composite, nonlinear-elastic cylinder with an inclusion having initial large strains // Int. J. Solids a. Struct. 2014. V. 51. № 6. P. 1403–1409.

14. Левин В.А., Морозов Е.М., Матвиенко Ю.Г. (под редакцией В.А. Левина) Избранные нелинейные задачи механики разрушения. М.: Физматлит, 2004. — 407 с.

15. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1955. 445 с.

16. Rivlin R.S. Large elastic deformations of isotropic materials // Philos. Trans. Roy. Soc. London, 1948. A240. P. 459-508.

17. Moony M.A. Theory of large elastic deformation // Journal of Applied Physics. 1940. № 11. P. 582-592.

18. Poynting J. H. On pressure perpendicular to the shear planes in finite pure shears, and on the lengthening of loaded wires when twisted// Proc. R. Soc. Lond. A 1909 82, p. 546–559.

19. Зубов Л.М. О прямом и обратном эффекте Пойнтинга в упругих цилиндрах // Докл. РАН. 2001. Т. 380, № 2. С. 194–196.

20. Mihai L.A., Goriely A. Positive or negative Poynting effect? The role of adscititious inequalities in hyperelastic materials // Proc. R. Soc. A. 2011. V. 467. P. 3633—3646.

21. Moon H., Truesdell C. Interpretation of adscititious inequalities through the effects pure shear stress produces upon an isotropic elastic solid // Arch. Ration. Mech. Anal. 1974. V. 55. P. 1-–17.

22. Зеленина А. А, Зубов Л.М. Нелинейная теория чистого изгиба призматических упругих тел// Прикл. мат. и мех. 2000. Т. 64. Вып. 3. С. 416–424.

23. Левин В.А., Зубов Л.М., Зингерман К.М. Точное решение задачи о нелинейном изгибе составного бруса с предварительно деформированным слоем при конечных деформациях // Докл. РАН. 2015. Т. 460, № 2. С. 155- –158.

24. Levin V.A., Zubov L. M., Zingerman K. M. An exact solution for the problem of flexure of a composite beam with preliminarily strained layers under large strains // Int. J. Solids a. Struct. 2015. V. 67—68. P. 244-–249.

25. Levin V.A., Zubov L.M., Zingerman K.M. An exact solution for the problem of flexure of a composite beam with preliminarily strained layers under large strains. Part 2. Solution for different types of incompressible materials // International Journal of Solids and Structures. 2016. V.100-101. P.558-565.