О КОЛИЧЕСТВЕ НУЛЕЙ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА, ЛЕЖАЩИХ В «ПОЧТИ ВСЕХ» ОЧЕНЬ КОРОТКИХ ПРОМЕЖУТКАХ ОКРЕСТНОСТИ КРИТИЧЕСКОЙ ПРЯМОЙ

Аннотация

Центральной проблемой аналитической теории чисел является доказательство (или опровержение) гипотезы Римана. К настоящему времени она не решена.

В 1985 году А. А. Карацуба доказал, что при любом \(0<\varepsilon<0,001\), \(0,5<\sigma\leq 1\), \(T>T_0(\varepsilon)>0\) и \(H=T^{27/82+\varepsilon}\) в прямоугольнике с вершинами \(\sigma+iT\), \(\sigma+i(T+H)\), \(1+i(T+H)\), \(1+iT\) содержится не больше, чем \(cH/(\sigma-0,5)\) нулей функции \(\zeta(s)\). Тем самым А.А. Карацуба существенно усилил классическую теорему Дж. Литтлвуда.

Для индивидуального прямоугольника существенно уменьшить величину \(H\) не удается. Однако решая эту задачу <<в среднем>>, Л.В. Киселева в 1989 году доказала, что для <<почти всех>> \(T\) из промежутка \([X,X+X^{11/12+\varepsilon}]\), \(X>X_0(\varepsilon)\), для которых в прямоугольнике с вершинами \(\sigma+iT\), \(\sigma+i(T+X^\varepsilon)\), \(1+i(T+X^\varepsilon)\), \(1+iT\) содержится не больше, чем \(O(X^\varepsilon/(\sigma-0,5))\) нулей функции \(\zeta(s)\).

В нашей статье получен результат подобного рода, но только для <<почти всех>> \(T\) из промежутка \([X,X+X^{7/8+\varepsilon}]\).