Большие промежутки между числами Романова

Натуральные числа, представимые в виде суммы простого числа и степени двойки с натуральным показателем, называются числами Романова. Начало изучению таких чисел положено Л. Эйлером, К. Гольдбахом [3] и А. де Полиньяком [1, Th´eor`eme 2, IV]. В своей
работе [10] 1934 года Н. Романов доказал, что множество чисел Романова имеет положительную нижнюю плотность, то есть для некоторой константы 𝛼 > 0 всякий отрезок [1, 𝑥] при 𝑥 ≥ 4 содержит хотя бы 𝛼𝑥 чисел, представимых в виде 𝑝 + 2𝑛. Данный результат
обобщается также и на случай степени произвольного натурального 𝑎 : 𝑝 + 𝑎𝑛, с константой, зависящей от 𝑎. Основной метод доказательства состоит в совмещении неравенства
Коши – Буняковского – Шварца и методов решета. Теорема Романова допускает множество обобщений: так, Г. Ригер [8] доказал её аналог для числовых полей, И. Шпарлинский и А.
Вайнгартнер [11] установили тот же результат для многочленов над конечными полями, а А. Радомский [7] получил ряд результатов о числе представлений натуральных чисел в виде 𝑎 + 𝑏, где 𝑎 — элемент просеянного множества (например, простое число или сумма двух квадратов целых чисел), а 𝑏 берется из какого-нибудь более сложно устроенного множества. В частности, в упомянутой работе получены результаты о суммах 𝑝+#𝐸(Fℓ), где 𝑝 и ℓ — простые, а #𝐸(Fℓ) есть количество точек фиксированной эллиптической кривой 𝐸 над полем Fℓ.
Что касается нечётных чисел, не являющихся числами Романова, П. Эрдёш [2] установил в 1950 году, что верхняя плотность чисел Романова не превосходит 1/2− 1/(2^(241)·3·5·7·13·17·241) .
Доказательство использует покрывающие системы сравнений для того, чтобы построить явную арифметическую прогрессию с разностью 2^241 ·3·5·7·13·17·241, не содержащую чисел Романова. В той же работе сформулирована гипотеза о неограниченности наименьшего модуля в покрывающей системе, получившая отрицательный ответ лишь 63 года спустя в работе [5]. Оценка Эрдёша была позже понижена до 0.490491 Л. Абсигером и К. Ф. Робло [4].
Данная работа также посвящена результатам о дополнении к множеству чисел Романова. А именно, доказаны нижние оценки для длины наибольшего подотрезка в [1,𝑋], не содержащего чисел Романова. Теорема 2 даёт общий способ получения таких нижних оценок, зависящий от произвольного множества 𝒫, состоящего из простых чисел. Основной результат — теорема 1 — доказан двумя разными способами: элементарный безусловный подход использует примитивные простые делители чисел 2𝑚−1, а второй подход основывается на расширенной гипотезе Римана для дзета-функций некоторого семейства числовых полей. Получающиеся в этих подходах оценки совпадают.

1. de Polignac A. Recherches nouvelles sur les nombres premiers // Comptes rendus. — 1849. — Vol. 29. — P. 397–401.

2. Erd˝os P. On Integers of the form 2𝑘 + 𝑝 and some related problems // Summa Brasiliensis Mathematicae. — 1950. — Vol. 2. — P. 113–125.

3. Euler L. Letter to Christian Goldbach. 16.12.1752 // Correspondence of Leonhard Euler with Christian Goldbach / ed. by F. Lemmermeyer, M. Mattm¨uller. — Basel: Bernoulli-Euler-Gesellschaft, 2016. — (Opera Omnia; IVA 4).

4. Habsieger L., Roblot X.-F. On integers of the form 𝑝+2𝑘 // Acta Arithmetica. — 2006. — Vol. 1. — P. 45–50.

5. Hough B. Solution of the minimum modulus problem for covering systems // Annals of Mathematics. — 2015. — Vol. 181, No. 1. — P. 361–382.

6. Lagarias J. C., Odlyzko A. M. Effective Versions of the Chebotarev Theorem // Algebraic Number Fields. — 1977. — P. 409–464.

7. Radomskii A. Variants of Romanoff’s theorem // arXiv [Электронный ресурс]. — 2025. — URL: https://arxiv.org/abs/2504.09954 (дата обращения: 01.06.2026).

8. Rieger G. J. Verallgemeinerung zweier S¨atze von Romanov aus der additiven Zahlentheorie // Mathematische Annalen. — 1961. — Vol. 144. — P. 49–55.

9. Roitman M. On Zsigmondy primes // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1997. — Vol. 125, No. 7. — P. 1913–1919.

10. Romanoff N. P. ¨Uber einige S¨atze der additiven Zahlentheorie // Mathematische Annalen. — 1934. — Vol. 109, No. 1. — P. 668–678.

11. Shparlinski I. E., Weingartner A. An explicit polynomial analogue of Romanoff’s theorem // Finite Fields and Their Applications. — 2017. — Vol. 44. — P. 22–33.

12. Tˆoyama H. A note on the different of the composed field // K¯odai Mathematical Seminar Reports. — 1955. — Vol. 7. — P. 43–44.