Натуральные числа, представимые в виде суммы простого числа и степени двойки с натуральным показателем, называются числами Романова. Начало изучению таких чисел положено Л. Эйлером, К. Гольдбахом [3] и А. де Полиньяком [1, Th´eor`eme 2, IV]. В своейработе [10] 1934 года Н. Романов доказал, что множество чисел Романова имеет положительную нижнюю плотность, то есть для некоторой константы 𝛼 > 0 всякий отрезок [1, 𝑥] при 𝑥 ≥ 4 содержит хотя бы 𝛼𝑥 чисел, представимых в виде 𝑝 + 2𝑛. Данный результатобобщается также и на случай степени произвольного натурального 𝑎 : 𝑝 + 𝑎𝑛, с константой, зависящей от 𝑎. Основной метод доказательства состоит в совмещении неравенстваКоши – Буняковского – Шварца и методов решета. Теорема Романова допускает множество обобщений: так, Г. Ригер [8] доказал её аналог для числовых полей, И. Шпарлинский и А.Вайнгартнер [11] установили тот же результат для многочленов над конечными полями, а А. Радомский [7] получил ряд результатов о числе представлений натуральных чисел в виде 𝑎 + 𝑏, где 𝑎 — элемент просеянного множества (например, простое число или сумма двух квадратов целых чисел), а 𝑏 берется из какого-нибудь более сложно устроенного множества. В частности, в упомянутой работе получены результаты о суммах 𝑝+#𝐸(Fℓ), где 𝑝 и ℓ — простые, а #𝐸(Fℓ) есть количество точек фиксированной эллиптической кривой 𝐸 над полем Fℓ.Что касается нечётных чисел, не являющихся числами Романова, П. Эрдёш [2] установил в 1950 году, что верхняя плотность чисел Романова не превосходит 1/2− 1/(2^(241)·3·5·7·13·17·241) .Доказательство использует покрывающие системы сравнений для того, чтобы построить явную арифметическую прогрессию с разностью 2^241 ·3·5·7·13·17·241, не содержащую чисел Романова. В той же работе сформулирована гипотеза о неограниченности наименьшего модуля в покрывающей системе, получившая отрицательный ответ лишь 63 года спустя в работе [5]. Оценка Эрдёша была позже понижена до 0.490491 Л. Абсигером и К. Ф. Робло [4].Данная работа также посвящена результатам о дополнении к множеству чисел Романова. А именно, доказаны нижние оценки для длины наибольшего подотрезка в [1,𝑋], не содержащего чисел Романова. Теорема 2 даёт общий способ получения таких нижних оценок, зависящий от произвольного множества 𝒫, состоящего из простых чисел. Основной результат — теорема 1 — доказан двумя разными способами: элементарный безусловный подход использует примитивные простые делители чисел 2𝑚−1, а второй подход основывается на расширенной гипотезе Римана для дзета-функций некоторого семейства числовых полей. Получающиеся в этих подходах оценки совпадают.
Natural numbers representable as the sum of a prime and a power of two with a natural exponent are called Romanov numbers. The study of such numbers was initiated by L. Euler, C. Goldbach [3] and A. de Polignac [1, Th´eor`eme 2, IV]. In his 1934 work [10], N. Romanov provedthat the set of Romanov numbers has positive lower density, i.e., for some constant 𝛼 > 0 every interval [1, 𝑥] for 𝑥 ≥ 4 contains at least 𝛼𝑥 numbers representable as 𝑝 + 2𝑛. This result also generalizes to the case of powers of an arbitrary natural number 𝑎: 𝑝 + 𝑎𝑛, with a constantdepending on 𝑎. The main method of proof consists in combining the Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz inequality with sieve methods. Romanov’s theorem admits many generalizations: for instance, G. Rieger [8] proved its analogue for number fields, I. Shparlinski and A. Weingartner [11] established the same result for polynomials over finite fields, and A. Radomskii [7] obtained a series of results on the number of representations of natural numbers as 𝑎 + 𝑏, where 𝑎 is an element of a sifted set (e.g., a prime or a sum of two squares of integers) and 𝑏 is taken from a more intricately structured set. In particular, the cited work contains results on sums 𝑝 + #𝐸(Fℓ), where 𝑝 and ℓ are primes, and #𝐸(Fℓ) is the number of points of a fixed elliptic curve 𝐸 over the field Fℓ.Concerning odd numbers that are not Romanov numbers, P. Erd˝os [2] established in 1950 that the upper density of Romanov numbers does not exceed 1/2− 1/(2^(241)·3·5·7·13·17·241). The proof usescovering systems of congruences to construct an explicit arithmetic progression with difference 2^241 ·3·5·7·13·17·241 that contains no Romanov numbers. In the same work, he formulated the conjecture on the unboundedness of the smallest modulus in a covering system, which received a negative answer only 63 years later in [5]. Erd˝os’s estimate was later lowered to 0.490491 by L. Habsieger and X.-F. Roblot [4].The present work is also devoted to results about the complement of the set of Romanov numbers. Namely, lower bounds are proved for the length of the largest subinterval of [1,𝑋] containing no Romanov numbers. Theorem 2 provides a general method for obtaining suchlower bounds, depending on an arbitrary set 𝒫 consisting of prime numbers. The main result — Theorem 1 — is proved in two different ways: an elementary unconditional approach uses primitive prime divisors of the numbers 2𝑚−1, while the second approach relies on the Extended Riemann Hypothesis for the zeta functions of a certain family of number fields. The estimates obtained by these two approaches coincide.