Задача Гельфонда для разложений по линeйным рекуррентным последовательностям

Аннотация

Гельфонд получил результат о равномерной распределенности сумм цифр 𝑏-ичных разложений натуральных чисел по классам вычетов по произвольному модулю 𝑑. Позднее Ламбергер и Тусвальднер, используя глубокие оценки тригонометрических сумм, получили налог теоремы Гельфонда, в котором вместо 𝑏-ичных разложений используются разложения по линейным рекуррентным последовательностям, удовлетворяющим условию Парри и некоторому дополнительному условию на коэффициенты. В статье мы даем новое, более простое и самозамкнутое доказательство теоремы Ламбергера – Тусвальднера.
Наше доказательство носит чисто комбинаторный характер и требует только условия Парри. Кроме того, мы даем достаточно простую явную формулу для показателя степени в остаточном члене. В отличие от результата Ламбергера – Тусвальднера, полученный нами показатель зависит только от 𝑑 и порядка линейной рекуррентной последовательности, но не от ее коэффициентов. Однако наш результат не включает равнораспределенность по модулю 𝑑 сумм цифр натуральных чисел, пробегающих арифметические прогрессии, что также было доказано Ламбергером и Тусвальднером.
В конце работы кратко обсуждаются некоторые нерешенные задачи.