кандидат физико-математических наук
candidate of physical and mathematical sciences
доктор физико-математических наук
doctor of physical and mathematical sciences
Гельфонд получил результат о равномерной распределенности сумм цифр 𝑏-ичных разложений натуральных чисел по классам вычетов по произвольному модулю 𝑑. Позднее Ламбергер и Тусвальднер, используя глубокие оценки тригонометрических сумм, получили налог теоремы Гельфонда, в котором вместо 𝑏-ичных разложений используются разложения по линейным рекуррентным последовательностям, удовлетворяющим условию Парри и некоторому дополнительному условию на коэффициенты. В статье мы даем новое, более простое и самозамкнутое доказательство теоремы Ламбергера – Тусвальднера.Наше доказательство носит чисто комбинаторный характер и требует только условия Парри. Кроме того, мы даем достаточно простую явную формулу для показателя степени в остаточном члене. В отличие от результата Ламбергера – Тусвальднера, полученный нами показатель зависит только от 𝑑 и порядка линейной рекуррентной последовательности, но не от ее коэффициентов. Однако наш результат не включает равнораспределенность по модулю 𝑑 сумм цифр натуральных чисел, пробегающих арифметические прогрессии, что также было доказано Ламбергером и Тусвальднером.В конце работы кратко обсуждаются некоторые нерешенные задачи.
Gelfond obtained a result on the uniform distribution of sums of digits of 𝑏-ary expansionsof natural numbers over residue classes modulo 𝑑 for an arbitrary 𝑑. Later, Lamberger andThuswaldner, using deep estimates of trigonometric sums, obtained an analogue of Gelfond’s theorem, in which instead of 𝑏-ary expansions, expansions over linear recurrent bases satisfying the Parry condition and some additional condition on the coefficients, are used. In this paper, we give a new, simpler and self-contained, proof of the Lamberger-Tkuswaldner theorem. Our proof is purely combinatorial and require only Parry condition. In addition, we give a quite simple explicit formula for the exponent in the remainder term. In contrast to the Lamberger-Thuswaldner result, obtained exponent depends only on 𝑑 and the order of the linear recurrent sequence, but not on its coefficients. However, our result does not include the equidistribution of the sums of the digits modulo 𝑑 of natural numbers running from an arbitrary arithmetic progression, which was also proved by Lamberger and Thuswaldner.At the end of the paper, some unsolved problems are briefly discussed.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.