Матричная классификация двумерных алгебр над полем Z2

Исследуется задача нахождения орбит группы 𝐺𝐿(𝑉 ) на пространстве 𝐴𝑙𝑔(𝑉 ) всех билинейных отображений 𝑉 ×𝑉 → 𝑉. В работе рассматриваются только двумерные алгебры
над полем Z2 без использования методов теории инвариантов. Рассматривается классификация алгебр с новых позиций. Для выделения большого класса алгебр используется отображение 𝑃, которое естественно возникает как отображение 𝐴𝑙𝑔(𝑉 ) → 𝑉 * × 𝑉 *, сопоставляющее каждой структуре алгебры на пространстве 𝑉 пару линейных форм 𝑇𝑟1 и 𝑇𝑟2, задаваемых как следы операторов левого и правого умножения в этой алгебре. Изучено 𝜏 -действие группы 𝐺𝐿(2,Z2), состоящей из невырожденных квадратных матриц 𝑔, на множество MSC(A) — матрицы структурных констант. Данное действие в общем виде записывается как 𝜏 : (𝑔,MSC(A)) → 𝑔MSC(A)(𝑔−1)⊗2. Действие 𝜏 задаёт экви-
валентность между матричными операторами двумерных алгебр и определяет структуру для описания орбит действия. Для данного действия было использовано 𝑃-отображение,
которое имеет вид 𝑃(𝜏 (𝑔,MSC(A))) = 𝑃(MSC(A))𝑔−1.
Для матричных представителей двумерных алгебр предложена полная матричная классификация с различными орбитами над Z2. Изложена связь 𝑃(𝑔MSC(A)(𝑔−1)⊗2) = 𝑒,
между MSC(A) и задающей ее линейно независимой системой {𝑇𝑟𝑘} = {𝑇𝑟1, 𝑇𝑟2}. Данная связь различных матричных представителей орбит равна 𝑞4. В работе также учтена связь того, что матричные представители орбит при действии 𝜏 могут пересекаться, однако в исследовании строго доказана их непересекаемость.
Показана взаимосвязь в виде системы равенств между элементами эквивалентных орбит 𝜏-действия группой 𝐺𝐿(2,Z2) на MSC(A) для дальнейшего изучения над полями более высшего порядка. Результаты показывают, что количество различных орбит 𝜏-действия равняется 52. Как следствие в теоретико-групповом смысле, данная задача эквивалентна описанию умножения на двупорожденной абелевой группе вида Z2 ⊕ Z2 с точностью до
изоморфизма.
В заключение приводятся некоторые свойства решётки Z𝑞 × Z𝑞 (𝑇𝑟𝑘) с использованием системы векторов {𝑇𝑟𝑘}, из которых, в частности, следует описание эквивалентных матриц с точностью до числа по пяти непересекающимся линейным формам {𝑇𝑟𝑘} = {𝑇𝑟1(MSC(A)), 𝑇𝑟2(MSC(A))} = {𝑇𝑟1(𝐴), 𝑇𝑟2(𝐴)} двойственного пространства алгебры A.

1. Petersson, H.P., Scherer, M. The number of nonisomorphic two-dimensional algebras over a finite field // Results Math. (2004), 42(1–2). pp. 137-–152.

2. Petersson, H.P. The classification of two-dimensional nonassociative algebras // Results Math. 2000. 37(1–2). pp. 120-–154.

3. Bekbaev U. Complete classification of two-dimensional algebras over any basic field // AIP Conference Proceedings 2880, 030001 (2023).

4. Nikolaas D. Verhulst. Counting Finite-Dimensional Algebras Over Finite Field // Results Math. 2020. pp. 75–153.

5. Althoen, S.C., Hansen, K.D. Two-dimensional real algebras with zero divisors // Acta Sci. Math (Szeged). 1992. 56. pp. 23-–42.

6. Henderson, H.V., Searle, S.R. The vec-permutation matrix, the vec operator and Kronecker products: a review // Linear Multilinear Algebra. 1981. 9(4). pp. 271-–288.

7. Rotman, J.J. An Introduction to the Theory of Groups. Grad // Texts in Math, vol. 148. Springer, Berlin. 2012. ISBN: 9781461241768.

8. R¨ohrl, H. A. A theorem on non-associative algebras and its applications to differential equations // Manuscripta Math. 21. 1977. Pp. 181–187.

9. R¨ohrl, H. A. Finite dimensional algebras without nilpotent elements over algebraically closed fields. Arch. Math.. 32. 1979. Pp. 10–12.

10. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. I // М.: Мир. 1973.

11. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. II // М.: Мир. 1977.

12. Куликов Л. Я. К теории абелевых групп произвольной мощности // Матем. сб. 1941. Т. 9(51). № 1. С. 165–181.

13. Arnold D. M. Finite rank torsion free abelian groups and rings // Lecture Notes in Math. 1982. Vol. 931. Springer. NY, .

14. Szele T. Nilpotent Artinian rings // Publ. Math. Debrecen. 4. 1955, pp. 71–78.

15. Feigelstock S. Additive groups of rings. Vol. 1, 2 // Pitman Advanced Publishing Program. 1983. 1986.