Комбинаторно-аналитический метод решения волнового уравнения с переключениями скорости

Аннотация

В работе получено полное аналитическое решение задачи о свободных колебаниях струны с произвольным числом скачкообразных изменений скорости распространения волн.
Предложен новый комбинаторно-аналитический метод, позволяющий представить решение в виде компактной явной формулы. Доказано, что решение представляет собой суперпозицию 2𝑁−1 волн, каждая из которых соответствует одному из возможных путей распространения возмущения через моменты переключения скорости.
Установлено, что коэффициенты в полученной формуле имеют ясный физический смысл и представляют собой произведения коэффициентов прохождения и отражения на
границах раздела сред. Метод обобщен на случай конечной струны с нулевыми граничными условиями Дирихле.
Решение построено в замкнутой форме и подтверждено двумя независимыми методами: методом Фурье и методом математической индукции. Полученные результаты позволяют анализировать сложные волновые процессы в средах с кусочно-постоянными параметрами и могут быть использованы в задачах акустики, сейсмологии и теории управления.