О приближении действительных чисел суммами двух степеней простых чисел
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-4-329-343
Аннотация
В статье для любого фиксированного 𝑐 ≥ 1 получена нижняя оценка 𝜅(𝑐), при выполнении которой к заданному действительному числу 𝑁 > 𝑁0(𝜀) можно подойти суммой
двух степеней простых чисел 𝑝𝑐1 + 𝑝𝑐 2 на расстояние не большее, чем 𝐻 = 𝑁𝜅(𝑐)+𝜀, где 𝜀 – произвольное положительное число.
Данный результат получен при помощи плотностной техники, разработанной Ю. В. Линником в 1940-х годах. Плотностная техника основана на применении явных формул, выражающих суммы по простым числам через суммы по нетривиальным нулям дзета-функции Римана и использовании плотностных теорем – оценок количества нетривиальных нулей дзета-функции, лежащих в критической полосе и таких, что их реальная часть больше некоторого 𝜎, где 1 > 𝜎 ≥ 1/2.
Содержащиеся в статье результаты основаны на применении современных плотностных теорем, полученных А. Ивичем. Кроме того, при доказательстве была использована тео-
рема Бейкера, Хармана, Пинтца: к заданному действительному числу 𝑁 > 𝑁0(𝜀) можно подойти простым числом на расстояние не большее, чем 𝐻 = 𝑁21/40+𝜀. Также использован результат М. Хаксли об оценке значений дзета-функции Римана на критической прямой: |𝜁(1/2 + 𝑖𝑡)| ≪ 𝑡32/205+𝜀.
Об авторе
Антон Павлович Науменко
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова; ОАО «ИнфоТеКС»
Россия
Россия
аспирант
Список литературы
1. Huxley M. N. On the difference between consecutive primes // Inventiones Mathematicae. — 1972. — Vol. 15, No. 1. — P. 164–170.
2. Гриценко С. А. Уточнение одной константы в плотностной теореме // Математические заметки. — 1994. — Т. 55, № 2. — С. 59–61.
3. Ivi´c A. The Riemann Zeta-Function. — New York: John Wiley and Sons, 1985. — 517 p.
4. Ivi´c A. Topics in Recent Zeta-Function Theory. — Orsay: Universit´e de Paris-Sud, 1983. — 150 p.
5. Ivi´c A. A note on the zero-density estimates for the zeta-function // Archiv der Mathematik. — 1979. — Vol. 33. — P. 155–164.
6. Ivi´c A. Exponent pairs and the zeta-function of Riemann // Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica. — 1980. — Vol. 15. — P. 157–181.
7. Линник Ю. В. О возможности единого метода в некоторых вопросах аддитивной и дистрибутивной теории чисел // Доклады Академии наук СССР. — 1945. — Т. 49, № 1. — С. 3–7.
8. Линник Ю. В. Об одной теореме теории простых чисел // Доклады Академии наук СССР. — 1945. — Т. 47, № 1. — С. 7–9.
9. Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. — М.: Физматлит, 1994. — 376 с.
10. Baker R. C., Harman G., Pintz J. The difference between consecutive primes, II // Proceedings of the London Mathematical Society. — 2001. — Vol. 83, No. 3. — P. 532–562.
11. Гирько В. В., Гриценко С. А. Об одном диофантовом неравенстве с простыми числами // Чебышевский сборник. — 2006. — Т. 7, № 4. — С. 26–30.
12. Гриценко С. А., Нгуен Тхи Ча О диофантовых неравенствах с простыми числами // Научные ведомости БелГУ. Серия: Математика. Физика. — 2012. — № 23(142), вып. 29. — С. 186–190.
13. Науменко А. П. О нелинейных диофантовых неравенствах с простыми числами // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения: труды XV Междунар. конф. — Тула, 2018. — С. 239–241.
14. Науменко А. П. О некоторых нелинейных диофантовых неравенствах с простыми числами // Математические заметки. — 2019. — Т. 105, вып. 6. — С. 943–948.
15. Науменко А. П. О приближении действительных чисел суммами двух квадратов простых чисел // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. — 2019. — № 5. — С. 3–8.
16. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — М.: Наука, 1983. — 240 с.
17. Huxley M. N. Exponential sums and the Riemann zeta function V // Proceedings of the London Mathematical Society. — 2005. — Vol. 90. — P. 1–41.
Рецензия
Для цитирования:
Науменко А.П. О приближении действительных чисел суммами двух степеней простых чисел. Чебышевский сборник. 2025;26(4):329-343. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-4-329-343
For citation:
Naumenko A.P. On the approximation of real numbers by the sums of two powers of primes. Chebyshevskii Sbornik. 2025;26(4):329-343. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-4-329-343
Просмотров:
1
Послать статью по эл. почте 