Выборочное интегрирование на высших аделях и эйлерова характеристика поверхностей
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-4-183-211
Аннотация
Пространство двумерных геометрических аделей поверхностей сильно отличается от локально компактного пространства, и на нём не существует счётно-аддитивной инвариантной по сдвигу нетривиальной меры. В то же время некоторые подфакторы аделей являются прямыми пределами компактных подфакторов или обратными пределами дискретных подфакторов, согласованными специальным образом. Используя этот факт, в статье
определяются трансляционно-инвариантная мера и интегрирование по некоторым подфакторам геометрических аделей поверхностей. Эта теория существенно отличается от теории интегрирования по аналитическим аделям поверхностей. После краткого обзора аспектов одномерной теории в статье дано полное определение двумерных геометрических аделей.
Установлен ряд их новых топологических свойств. Новая трансляционно-инвариантная мера и интегрирование по некоторым подфакторам геометрических аделей используются для интегралов от подходящих функций в двумерном методе, описывающем размер групп адельных когомологий поверхностей без использования стандартных адельных комплексов. Доказана формула для эйлеровой характеристики поверхности и её дивизора, выражающая ее через интегралы по ключевым объектам геометрических аделей. С помощью эйлеровой характеристики вводится новый двумерный адельный индекс пересечения. Для
геометрических поверхностей он является положительным кратным стандартного индекса пересечения. Приводятся новые доказательства ряда результатов, полученных в предыдущем исследовании геометрических аделей.
Об авторах
Иван Борисович Фесенко
Уэстлейкский университет
Китай
Китай
Вероника Ярославовна Чернявскa
Уэстлейкский университет
Китай
Китай
Список литературы
1. Аракелов С. Ю. Теория пересечений для дивизоров на арифметической поверхности // Известия Академии наук СССР. Серия математическая. — 1974. — Т. 38. — С. 1179–1192.
2. Бейлинсон А. Вычеты и адели // Функциональный анализ и его приложения. — 1980. — Т. 14. — С. 44–45.
3. Borisov A. Convolution structures and arithmetic cohomology // Comp. Math. 2003. Vol. 136. P. 237–254.
4. Brown R., Higgings P. J., Morris S. A. Countable products and sums of lines and circles: their closed subgroups, quotients and duality properties // Math. Proc. Cambr. Phil. Soc. 1975. Vol. 78. P. 19–32.
5. Czerniawska W. Harmonic analysis approach to the relative Riemann–Roch theorem on global fields : препринт. 2022. URL: https://arxiv.org/abs/2208.10424
6. Czerniawska W., Dolce P. Adelic geometry on arithmetic surfaces II: completed adeles and idelic Arakelov intersection theory // J. Number Theory. 2020. Vol. 211. P. 235–296. URL: https://arxiv.org/abs/1906.03745
7. De Jong R. Arakelov invariants of Riemann surfaces // Docum. Math. 2005. Vol. 10. P. 311–329.
8. Faltings G. Calculus on arithmetic surfaces // Ann. Math. (2). 1984. Vol. 119. P. 387–424.
9. Фесенко И. Б. Секвенциальные топологии и факторы милноровских 𝐾-групп многомерных локальных полей // Алгебра и Анализ. — 2001. — Т. 13. — С. 198–221.
10. Fesenko I. Adelic approach to the zeta function of arithmetic schemes in dimension two // Moscow Math. J. 2008. Vol. 8. P. 273–310.
11. Fesenko I. Analysis on arithmetic schemes. II // J. K-theory. 2010. Vol. 5. P. 437–557.
12. Fesenko I. Geometric adeles and the Riemann–Roch theorem for 1-cycles on surfaces // Moscow Math. J. 2015. Vol. 15. P. 435–453.
13. Fesenko I. Essential Algebraic Number Theory. Singapore : World Scientific Publ., 2026. (Number Theory and Its Applications; Vol. 18).
14. Fesenko I., Kurihara M. (eds.) Invitation to higher local fields. Coventry : Geometry and Topology Monographs, 2000. Vol. 3.
15. van der Geer G., Scoof R. Effectivity of Arakelov divisors and the theta divisor of a number fields // Sel. Math. 2000. Vol. 6. P. 377–398.
16. Hartshorne R. Algebraic geometry. New York : Springer, 1997.
17. Iwasawa K. Hecke’s L-functions, Spring 1964, Princeton Univ. Springer, 2019.
18. Kaplan S. Extensions of the Pontrjagin duality II: direct and inverse sequences // Duke Math. J. 1950. Vol. 17. P. 419–435.
19. Lang S. Introduction to Arakelov theory. New York : Springer, 1988.
20. Liu Q. Algebraic geometry and arithmetic curves. Oxford : Oxford Univ. Press, 2002.
21. Morrow M. An introduction to higher dimensional local fields and adeles. 2012. URL: https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/ matthew.morrow/
22. Morrow M. Grothendieck’s trace map for arithmetic surfaces via residues and higher adeles // J. Algebra and Number Th. 2012. Vol. 6-7. P. 1503–1536.
23. Tate J. Fourier analysis in number fields and Hecke’s zeta functions : PhD thesis. Princeton Univ., 1950.
24. Weil A. Basic Number Theory. 3rd ed. Berlin : Springer, 1973.
Рецензия
Для цитирования:
Фесенко И.Б., Чернявскa В.Я. Выборочное интегрирование на высших аделях и эйлерова характеристика поверхностей. Чебышевский сборник. 2025;26(4):183-211. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-4-183-211
For citation:
Fesenko I.B., Czerniawska W.Ya. Selective integration on higher adeles and the Euler characteristic of surfaces. Chebyshevskii Sbornik. 2025;26(4):183-211. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-4-183-211
Просмотров:
2
Послать статью по эл. почте 