О сравнениях Гаусса и Якобшталя
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-4-174-182
Аннотация
Данная статья посвящена распространеннию классического сравнения Вольстенхольма для центрального биномиального коэффициента (︀2𝑝 𝑝 )︀ на случай составного числа. Перено-
сом малой теоремы Ферма на составной случай является сравнение Гаусса, которое имеет простую комбинаторно-динамическую интерпретацию. Для распространения сравнения Вольстенхольма на составной случай необходимо использовать сравнение Якобшталя.
Приводится комбинаторное доказательство его ослабленной версии, основанное на исследовании длин орбит некоторого действия силовской 𝑝-подгруппы симметрической группы.
Об авторах
Константин Игоревич Пименов
Санкт-Петербургский государственный университет
Россия
Россия
кандидат физико-математических наук
Ильдар Николаевич Фаизов
OOO «Яндекс-Технологии»
Россия
Россия
Игорь Борисович Жуков
Санкт-Петербургский государственный университет
Россия
Россия
доктор физико-математических наук
Список литературы
1. Almkvist G. Integrity of ghosts // Preprint. — 1983. — URL: https://arxiv.org/abs/math/0612443 (дата обращения: 01.01.2024).
2. Арнольд В. И. Матричная теорема Эйлера–Ферма // Известия Российской академии наук. Серия математическая. — 2004. — Т. 68, № 6. — С. 3–24.
3. Винберг Э. Б. Малая теорема Ферма и ее обобщения // Математическое просвещение. Серия 3. — 2008. — Вып. 12. — С. 7–17.
4. Зарелуа А. В. О сравнениях для следов степеней некоторых матриц // Труды Математического института имени В. А. Стеклова. — 2008. — Т. 263. — С. 85–105.
5. Трахтман Ю. А. О делимости некоторых разностей, составленных из биномиальных коэффициентов // Доклады Академии наук Армянской ССР. — 1974. — Т. 59. — С. 10–16.
6. Byszewski J., Graff G., Ward T. Dold sequences, periodic points, and dynamics // Bulletin of the London Mathematical Society. — 2021. — Vol. 53. — P. 1263–1298.
7. Brun V., Stubban J. O., Fjeldstad J. E., Tambs-Lyche R., Aubert K. E., Ljunggren W., Jacobsthal E. On the divisibility of the difference between two binomial coefficients // Den 11te Skandinaviske Matematikerkongress, Trondheim 1949. — 1952. — P. 42–54.
8. Deligne P. Extended Euler congruence // Functional Analysis and Other Mathematics. — 2009. — Vol. 2. — P. 249–250.
9. Jacobsthal E. Tallteoretiske egenskaper ved binominalkoeffisientene // Norske Videnskabers Selskabs Skrifter (Trondheim). — 1945. — No. 4. — P. 1–28.
10. J¨anichen W. ¨Uber die Verallgemeinerung einer Gaussschen Formel aus der Theorie der h¨oheren Kongruenzen // Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft. — 1921. — Vol. 20. — P. 23–29.
11. Ljunggren W. Eine Eigenschaft der mittleren Binomialkoeffizienten // Norsk Matematisk Tidsskrift. — 1942. — Vol. 24. — P. 18–22.
12. Minton G. T. Linear recurrence sequences satisfying congruence conditions // Proceedings of the American Mathematical Society. — 2014. — Vol. 142, No. 7. — P. 2337–2352.
13. Schur I. Arithmetische Eigenschaften der Potenzsummen einer algebraischen Gleichung // Compositio Mathematica. — 1937. — Vol. 272. — P. 432–444.
14. Sch¨onemann T. Grundz¨uge einer allgemeinen Theorie der h¨ohern Congruenzen, deren Modul eine reelle Primzahl ist // Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik. — 1846. — Vol. 31. — P. 269–325.
15. Smith J. H. Combinatorial Congruences from p-subgroups of the Symmetric Group // Graphs and Combinatorics. — 1993. — Vol. 9. — P. 293–304.
16. Smyth C. J. A coloring proof of a generalization of Fermat’s little theorem // The American Mathematical Monthly. — 1986. — Vol. 93. — P. 469–471.
Рецензия
Для цитирования:
Пименов К.И., Фаизов И.Н., Жуков И.Б. О сравнениях Гаусса и Якобшталя. Чебышевский сборник. 2025;26(4):174-182. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-4-174-182
For citation:
Pimenov K.I., Faizov I.N., Zhukov I.B. On Gauss and Jacobsthal congruences. Chebyshevskii Sbornik. 2025;26(4):174-182. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-4-174-182
Просмотров:
3
Послать статью по эл. почте 