Топологические свойства множеств и колец сходимости многомерного полного поля

Аннотация

Статья продолжает цикл работ первого автора, посвящённых сходимости последовательностей и рядов в многомерных локальных и полных полях.
Многомерные поля представляют собой цепочку дискретно нормированных полей, в которой каждое следующее – поле вычетов предыдущего. В итоге элементы записываются
в виде ряда, причем при использовании стандартной топологии дискретного нормирования ряды, определяющие элементы поля, не обязательно будут сходиться. Поэтому на
многомерных полных полях используют сложно сконструированную топологию Паршина, учитывающую топологии полей вычетов (см. [15], [5] и [6]). В ней ряды всех элементов многомерного поля сходятся. Однако и в топологии Паршина не выполнено другое важное свойство – сходимость всех степенных рядов с коэффициентами из кольца целых при подстановке вместо переменной элемента максимального идеала.
В [9] первым автором введено понятия множества сходимости – то есть такого, что ряд с коэффициентами из этого множества сходится на максимальном идеале, и доказан критерий множества сходимости. В [10] множества сходимости исследуются при помощи их мультииндексов, составляющих моноид сходимости, а в [8] конструируются кольца, являющиеся множествами сходимости, и изучаются некоторые их свойства. В данной работе выясняется, что аддитивный сдвиг множества сходимости дает множество сходимости, что любое множество сходимости секвенциально замкнуто и что сходящаяся последовательность всегда составляет множество сходимости. Эти утверждения в качестве следствия дают удобное для применения достаточное условие того, что последовательность является бесконечно малой, а также позволяют построить кольцо сходимости, которому принадлежит предел сходящейся последовательности и все ее члены.