Базисы ассоциированных модулей Галуа в общих дико разветвленных расширениях и в элементарных абелевых расширениях степени 𝑝2

Данная статья посвящена исследованию ассоциированных модулей и порядков Галуа для вполне разветвленных расширений полей дискретного нормирования. Основное внимание уделяется явным вычислениям и построению базисов для этих модулей, в частности
в случае элементарных абелевых расширений степени 𝑝2. Авторы вводят и развивают теорию градуированно-независимых множеств и диагональных базисов, которые позволяют явно описывать модули 𝛾𝑖 и соответствующие ассоциированные порядки. Центральный результат работы — теорема 3.3.2, которая дает явное описание модулей 𝛾𝑖 для расширений с группой Галуа (Z/𝑝Z)2 и различными по модулю 𝑝2 скачками ветвления. В работе
исследованы свойства введенных конструкций, в том числе их поведение относительно подъема на ручные расширения и связь с классическими ассоциированными порядками.
Полученные результаты обобщаются на случай относительных ассоциированных модулей 𝛾0𝑖 = 𝛾𝑖 ∩𝑘0[𝐺], где 𝑘0 ⊂ 𝑘. В работе используется построенный ранее первым автором изоморфизм между между 𝐾 ⊗𝑘 𝐾 и 𝐾[𝐺], и представлен детальный анализ фильтраций на тензорных квадратах и их связи со структурой модулей Галуа. Статья может представлять интерес для специалистов по теории чисел и арифметической геометрии.

1. Bondarko M.V., Local Leopoldt’s problem for rings of integers in abelian p-extensions of complete discrete valuation fields// Doc. Math. 2000, vol. 5, 657-693.

2. Bondarko M.V., Local Leopoldt’s problem for ideals in p-extensions of complete discrete valuation fields// In book: Algebraic Number Theory and Algebraic Geometry: Papers Dedicated to A. N. Parshin on the Occasion of his Sixtieth Birthday, 2002, Contemporary Mathematics, Providence, 27-57.

3. Bondarko M.V., Links between associated additive Galois modules and computation of 𝐻1 for local formal group modules// J. of Number Theory 2003, vol. 101, 74-104.

4. Byott N., Galois structure of ideals in wildly ramified abelian 𝑝-extensions of a 𝑝-adic field, and some applications// Journal de Theorie des nombres de Bordeaux 1997. vol. 9(1), 201-219.

5. Byott N., Associated orders of certain extensions arising from Lubin-Tate formal groups// Journal de Theorie des nombres de Bordeaux 1997. vol. 9, 449-462.

6. Fesenko I.B., Vostokov S.V., Local Fields and their extensions. A constructive approach/ - Second edition - AMS - Providence - RI - 2002.

7. Leopoldt H.-W., ¨Uber die Hauptordnung der ganzen Elemente eines abelschen Zahlk¨orpers. (German), J. Reine Angew. Math. 201 (1959), 119–149.

8. Serre, J.-P., Local fields/ J.-P. Serre - Springer - 1979.