Явные законы взаимности в теории локальных полей
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-4-37-70
Аннотация
В этой обзорной статье рассматриваются различные подходы к явному описанию символа Гильберта и их обобщения на 𝑝-адические представления в рамках 𝑝-адической теории Ходжа.
Список литературы
1. Abrashkin, V. A., The field of norms functor and the Bruckner-Vostokov formula// Math.
2. Annalen. 1997. Vol. 308, P. 5–19.
3. Абрашкин, В. А., Явные формулы для символа Гильберта формальной группы над век-
4. торами Витта//Изв. РАН. Сер. матем., 1997. Т. 61:3, C. 3–56.
5. Abrashkin, V. A., An analogue of the field-of-norms functor and of the Grothendieck
6. Conjecture// J. Algebraic Geom. 2007. Vol. 16, P. 671-730.
7. Abrashkin, V. A., Jenni, R., The field-of-norms functor and the Hilbert symbol for higher local
8. fields// J. Th´eorie des Nombres de Bordeaux. 2012. Vol. 24, P. 1–39.
9. Artin, E., Hasse, H., Die beiden Erg¨anzungss¨atze zum Reziprozit¨atsgesetz der ℓ𝑛-ten Einheitzwurzeln//
10. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1928. Vol. 6, P. 46–162.
11. Benois, D., P´eriodes 𝑝-adiques et lois de r´eciprocit´e explicites// J. reine angew. Math. 1997.
12. Vol. 493, P. 115–151.
13. Benois, D., On Iwasawa theory of 𝑝-adic representations// Duke Math. J. 2000. Vol. 104,
14. P. 211–267.
15. Benois, D., Nguyen Quang Do, T., Les nombres de Tamagawa locaux et la conjecture de Bloch
16. et Kato pour les motifs Q(𝑚) sur un corps ab´elien// Ann. Sci. de l’ENS. 2002. Vol. 35.5,
17. P. 641–672.
18. Benois D., Berger, L., Th´eorie d’Iwasawa des repr´esentations cristallines II// Comment. Math.
19. Helv. 2008. Vol. 83, P. 603–677.
20. Benois, D., An introduction to 𝑝-adic Hodge theory// in: Perfectoid Spaces (D. Banerjee & al.
21. eds), Infosys Science Foundation Series, Singapore. 2022, P. 69–219.
22. Berger, L., Bloch and Kato’s exponential map: three explicit formulas// Doc. Math. Extra Vol.:
23. Kazuya Kato’s Fiftieth Birthday. 2003. P. 99–129.
24. Berger, L., Trianguline representations// Bull. London Math. Soc. 2011. Vol. 43, № 4, P. 619–
25.
26. Berger, L., Lifting the field of norms// J. ´Ecole Polytechnique - Math. 2014. Vol. 1, P. 29–38.
27. Berger L., Fourquaux L., Iwasawa theory and 𝐹-analytic Lubin–Tate (𝜙, Γ)-modules// Doc.
28. Math. 2017. Vol. 22, P. 999–1030.
29. Bloch, S., Kato, K., 𝐿-functions and Tamagawa numbers of motives// in: The Grothendieck
30. Festschrift (P. Cartier, L. Illusie, N. M. Katz, G. Laumon Y.I. Manin, K. A. Ribet eds.), vol. I,
31. Progress in Math., Birkh¨auser, Boston. 1990. Vol. 86, P. 333–400.
32. Breuil, Ch., Groupes 𝑝-divisibles, groupes finis et modules filtr´es// Annals of Math. 2000.
33. Vol. 152, P. 489–549.
34. Br¨uckner, H., Eine explizite Fonnel zum Reziprozit¨atsgesetz f¨ur Primzahlexponenten 𝑝// in:
35. Hasse, Roquette, Algebraische Zahlentheorie, Bericht einer Tagung des Math. Inst. Obervolfach
36. Bibliographisches Institut 1 Manheim 1966.
37. Br¨uckner, H., Explizites Reziprozit¨atsgesetz und Anwendungen// in: Vorlesungen aus dem
38. Fachbereich Mathematik der Universit¨at GH Essen. 1979. Vol. 2, 83 P.
39. Burns, D., Greither, C., On the Equivariant Tamagawa number conjecture for Tate motives//
40. Invent. Math. 2003. Vol. 153, P. 303–359.
41. Cherbonnier, F., Colmez, P., Th´eorie d’Iwasawa des repr´esentations 𝑝-adiques d’un corps local//
42. J. Amer. Math. Soc. 1999. Vol. 12, P. 241–268.
43. Coates, J., Wiles, A., On the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer// Invent. Math. 1977.
44. Vol. 39, P. 223–252.
45. Coleman, R., Division Values in Local Fields// Invent. Math. 1979. Vol. 53, P. 91–116.
46. Coleman, R., The dilogarithm and the norm residue symbol// Bull. Soc. Math. France. 1981.
47. Vol. 109, P. 373–402.
48. Colmez, P., P´eriodes 𝑝-adiques des vari´et´es ab´eliennes// Math. Annalen. 1992. Vol. 292, P. 629–
49.
50. Colmez, P., Int´egration sur les vari´et´es 𝑝-adiques// Ast´erisque. 1998. Vol. 48, 163 P.
51. Colmez, P., Th´eorie d’Iwasawa des repr´esentations de de Rham d’un corps local// Ann. of
52. Math. 1998. Vol. 148, P. 485–571.
53. Colmez, P., Les conjectures de monodromie 𝑝-adiques// in: S´eminaire Bourbaki 2001/02,
54. Ast´erisque. 2003. Vol. 290, P. 53–101.
55. Colmez, P., Repr´esentations de GL2(Q𝑝) et (𝜙, Γ)-modules// in: Repr´esentations 𝑝-adiques de
56. groupes 𝑝-adiques. Ast´erisque. 2010. Vol. 330, P. 281-506.
57. Destrempes, F., Explicit reciprocity laws for Lubin–Tate modules// J. reine und angew. Math.
58. Vol. 463, P. 27–48.
59. de Shalit, E., The explicit reciprocity law in local class field theory// Duke Math. J., 1995.
60. Vol. 53, P. 163–176.
61. Фесенко, И. Б., Теория полей классов многомерных локальных полей нулевой характери-
62. стики с полем вычетов положительной характеристики// Алгебра и анализ, 1991. Т. 3:3,
63. С. 165–196.
64. Фесенко, И. Б., Многомерная локальная теория полей классов. II// Алгебра и анализ,
65. Т. 3:5, С. 168–189.
66. Fesenko, I. B., Abelian local 𝑝-class field theory// Math. Ann. 1995. Vol. 301, P. 561–586.
67. Fesenko, I. B., Vostokov, S. V., Local fields and their extensions// Translations of Mathematical
68. Monographs. 1993. Vol. 121, American Mathematical Society.
69. Fontaine, J.-M., Groupes 𝑝-divisibles sur les corps locaux// Ast´erisque. 1977. Vol. 47–48, 264 P.
70. Fontaine, J.-M., Modules galoisiens, modules filtr´es et anneaux de Barsotti–Tate// Ast´erisque.
71. Vol. 65, P. 3–80.
72. Fontaine, J.-M., Sur certaines types de repr´esentations 𝑝-adiques du groupe de Galois d’un corps
73. local; construction d’un anneau de Barsotti–Tate// Ann. of Math. 1982. Vol. 115, P. 529–577.
74. Fontaine, J.-M., Cohomologie de de Rham, cohomologie cristalline et repr´esentations 𝑝-
75. adiques// in: Algebraic geometry Tokyo-Kyoto, Lecture Notes in Math. 1983. Vol. 1016, P. 86–
76.
77. Fontaine, J.-M., Repr´esentations 𝑝-adiques des corps locaux// in: The Grothendieck Festschrift
78. (Cartier, P., Illusie, L., Katz, N. M., Laumon, G., Manin, Y. I. & Ribet, K. A. eds.), vol. II,
79. Progress in Math., Birkh¨auser, Boston. 1991. Vol. 87, P. 249–309.
80. Fontaine, J.-M., Le corps des p´eriodes 𝑝-adiques// Ast´erisque. 1994. Vol. 223, P. 59–102.
81. Fontaine, J.-M., Repr´esentations 𝑝-adiques semistables// Ast´erisque. 1994, Vol. 223. P. 113–184.
82. Fontaine, J.-M., Sur un th´eor`eme de Bloch et Kato (lettre `a B. Perrin-Riou)// Invent. Math.
83. Vol. 115, P. 151–161.
84. Fukaya, T., Explicit reciprocity laws for 𝑝-divisible groups over higher dimensional local fields//
85. J. reine und angew. Math. 2001, Vol. 531, P. 61–119.
86. Fukaya, T., The theory of Coleman power series for K2// J. Algebraic Geom. 2003. Vol. 12,
87. pp. 1–80.
88. Gros, M., Kurihara, M., R´egulateurs syntomiques et valeurs de fonctions 𝐿 𝑝-adiques. I. With
89. an appendix by Masato Kurihara// Invent. Math. 1990. Vol. 99, P. 293–320.
90. Hasse, H., Die Gruppe der 𝑝𝑛-primaren Zahlen fur einen Primteiler p von 𝑝// J. reine und
91. angew. Math. 1936. Vol. 176, P. 174–183.
92. Henniart, G., Sur les lois de r´eciprocit´e explicites I// J. reine angew. Math. 1981. Vol. 329,
93. P. 177–203.
94. Herr, L., Sur la cohomologie galoisienne des corps 𝑝-adiques// Bull. Soc. Math. France. 1998,
95. Vol. 126, P. 563–600.
96. Herr, L., Une approche nouvelle de la dualit´e locale de Tate// Math. Annalen. 2001. Vol. 320,
97. P. 307–337.
98. Hilbert, D., Die Theorie der algebraischen Zahlk¨orper// Jahresbericht der Deutschen Mathematiker–
99. Vereinigung. 1894/95. Vol. 4, P. 175–535.
100. Honda, T., On the theory of commutative formal groups// J. Math. Soc. Japan. 1970. Vol. 22,
101. P. 213–246.
102. Huber, A., Kings, G., Bloch–Kato conjecture and main conjecture of Iwasawa theory for
103. Dirichlet characters// Duke Math. J. 2003. Vol. 119, P. 393–464.
104. Ireland, K., Rosen, M., A classical introduction to modern number theory// Graduate Texts
105. in Mathematics. 1990. Vol. 84, Springer–Verlag, New York, P. xiv+389.
106. Iwasawa, K., On some modules in the theory of cyclotomic fields// J. Math. Soc. Japan. 1964.
107. Vol. 16, P. 42–82.
108. Iwasawa, K., On explicit formulas for the norm residue symbol// J. Math. Soc. Japan. 1968.
109. Vol. 20, P. 151–165.
110. Kato, K., A generalization of local class field theory by using K-groups. I// J. Fac. Sci. Univ.
111. Tokyo. 1979. vol. 26 P. 303–376.
112. Kato, K., A generalization of local class field theory by using 𝐾-groups. II// J. Fac. Sci. Univ.
113. Tokyo. 1980. Vol. 27 (1980), P. 603–683.
114. Kato, K., The explicit reciprocity law and the cohomology of Fontaine–Messing// Bulletin de
115. la SMF. 1991. Vol. 119, № 4, P. 397–441.
116. Kato, K., Lectures on the approach to Iwasawa theory for Hasse-Weil 𝐿-functions via BdR// in:
117. Arithmetic algebraic geometry (Trento, 1991), Lecture Notes in Math., Springer, Berlin. 1993.
118. Vol. 1553, P. 50—163.
119. Kato, K., Generalized explicit reciprocity laws// Adv. Stud. Contemp. Math. (Pusan). 1999.
120. Vol. 1, P. 57–126.
121. Kato, K., 𝑝-adic Hodge theory and values of zeta-functions of modular forms// Ast´erisque.
122. Vol. 295, P. 117–290.
123. Kedlaya, K., Pottharst, J., Xiao, L., Cohomology of arithmetic families of (𝜙, Γ)-modules//
124. Journal of the Amer. Math. Soc. 2014. Vol. 27, P. 1043–1115.
125. Kolyvagin, V. A., Finiteness of 𝐸(Q) and III(𝐸/Q) for a subclass of Weil curves// Izv. Akad.
126. Nauk. SSSR Ser Mat. 1988. Vol. 52, P. 522–540.
127. Kolyvagin, V. A., On the Mordell–Weil group and the Shafarevich-Tate group of Weil elliptic
128. curves// Izv. Akad. Nauk. SSSR Ser Mat. 1988. Vol. 52, P. 1154–1179.
129. Kummer, E., ¨Uber die allgemeinen Reziprozit¨atsgesetze der Potenzreste// J. reine angew. Math.
130. Vol. 56, P. 270–279.
131. Лапин, А. И. Теория символа Шафаревича// Изв. АН СССР. Сер. матем., 1953. Т. 17:1,
132. С. 31–50.
133. Lemma, F., Ochiai, T., Kato explicit reciprocity law for Siegel modular forms of weight (3, 3)//
134. Preprint. 2025, 20 P. Available at: https://arxiv.org/abs/2504.18304.
135. Lemmermeyer, F., Reciprocity laws. From Euler to Eisenstein// Springer Monographs in
136. Mathematics. 2000. Springer–Verlag, Berlin, P. xx+487.
137. Loeffler, D., Venjakob, O. and Zerbes, S. L., Local epsilon isomorphisms// Kyoto J. Math. 2015.
138. Vol. 55, P. 63–127.
139. Lubin, J., Tate, J., Formal Complex Multiplication in Local Fields// Annals of Math. 1965.
140. Vol. 81, P. 380–387.
141. Morrow, M., An introduction to higher dimensional local fields and ad`eles// Preprint. 2012.
142. Available at: https://arxiv.org/pdf/1204.0586.
143. Nakamura, K., Iwasawa theory of de Rham (𝜙, Γ)-modules over the Robba ring// J. Inst. Math.
144. Jussieu. 2014, Vol. 13, P. 65–118.
145. Nakamura, K., A generalization of Kato’s local 𝜀-conjecture for (𝜙, Γ)-modules over the Robba
146. ring// Algebra & Number Theory. 2017, Vol. 11, P. 319–404.
147. Nekov´aˇr, J., Values of 𝐿-functions and 𝑝-adic cohomology// in: First European Congress of
148. Mathematics, Vol. II (Paris, 1992). Progr. in Math. 1994. Vol. 120, P. 257–291.
149. Паршин А. Н., Локальная теория полей классов// Алгебраическая геометрия и ее прило-
150. жения, Сборник статей, Тр. МИАН СССР. 1984. Т. 165, С. 143–170.
151. Паршин А. Н., Когомологии Галуа и группа Брауэра локальных полей// Теория Галуа,
152. кольца, алгебраические группы и их приложения, Сборник статей, Тр. МИАН СССР. 1990.
153. Т. 183, С. 159–169.
154. Perrin-Riou B. Th´eorie d’Iwasawa et hauteurs 𝑝-adiques// Invent. Math. 1992. Vol. 109, P. 137–
155.
156. Perrin-Riou, B., Th´eorie d’Iwasawa des r´epresentations 𝑝-adiques sur un corps local// Invent.
157. Math. 1994. Vol. 115, P. 81–149.
158. Perrin-Riou, B., Fonctions 𝐿 𝑝-adiques des repr´esentations 𝑝-adiques// Ast´erisque. 1995.
159. Vol. 229, 198 P.
160. Schneider, P., Venjakob, O., Coates–Wiles homomorphisms and Iwasawa cohomology for Lubin–
161. Tate extensions// in: Elliptic curves, modular forms and Iwasawa theory. Springer Proc. Math.
162. Stat. 2016. Vol. 188, Springer, Cham, P. 401–468.
163. Schneider P., Venjakob, O., Reciprocity laws for (𝜙, Γ)-modules over Lubin–Tate extensions//
164. Memoirs of the EMS. 2025. Vol. 24, 194 P.
165. Scholl, A. J., An introduction to Kato’s Euler systems. In : Galois representations in arithmetic
166. algebraic geometry. ed. A. J. Scholl and R. L. Taylor. 1998. Cambridge University Press, P. 379–
167.
168. Sen, S., Ramification in 𝑝-adic Lie extensions// Invent. Math. 1972. Vol. 17, P. 44–50.
169. Шафаревич, И. Р., Общий закон взаимности// Матем. сб., 1950. Т. 26(68):1, С. 113–146.
170. Sen, S., On explicit reciprocity laws// J. reine angew. Math. 1980. Vol. 313, P. 1–26.
171. Tate, J., 𝑝-divisible groups// in: Proc. Conf. Local Fields, Driebergen, 1966, Springer T.A. ed.,
172. Springer. 1967. P. 158–183.
173. Tavares Ribeiro, F., An explicit formula for the Hilbert symbol of a formal group// Ann. Inst.
174. Fourier. 2011. Vol. 61, P. 261–318.
175. Tsuji, T., Explicit reciprocity law and formal moduli for Lubin–Tate formal groups// J. Reine
176. Angew. Math. 2004. Vol. 569, P. 103–173.
177. Venjakob, O., Explicit reciprocity laws in Iwasawa theory: A survey with some focus on the
178. Lubin-Tate setting// in: Arithmetic of 𝐿-functions. Proceedings of an International Conference
179. held at ICMAT, Madrid, May 2023, P. 201–251.
180. Востоков, С. В., Явная форма закона взаимности// Изв. АН СССР. Сер. матем., 1978.
181. Т. 42:6, С. 1288–1321.
182. Востоков, С. В., Норменное спаривание в формальных модулях// Изв. АН СССР. Сер.
183. матем., 1979. Т. 43:4, С. 765–794.
184. Востоков, С. В., Символы на формальных группах// Изв. АН СССР. Сер. матем., 1981.
185. Т. 45:5, С. 985–1014.
186. Востоков, С. В., Фесенко, И. Б., Символ Гильберта для формальных групп Любина–Тэйта.
187. II// Зап. научн. сем. ЛОМИ, 1983. Т. 132, С. 85–96.
188. Востоков, С. В., Кириллов, А. Н., Норменное спаривание в двумерном локальном поле//
189. Зап. научн. сем. ЛОМИ, 1983. Т. 132, С. 76–84.
190. Востоков, С. В., Явная конструкция теории полей классов многомерного локального по-
191. ля// Изв. АН СССР. Сер. матем., 1985. Т. 49:2, С. 283–308.
192. Востоков, С. В., Спаривание Гильберта в полном многомерном поле// Тр. МИАН, 1995.
193. Т. 208, С. 80-92.
194. Востоков, С. В., Демченко, О. В., Явная формула спаривания Гильберта для формальных
195. групп Хонды// Зап. научн. сем. ЛОМИ, 2000. Т. 272, С. 86–128.
196. Wang, S., Le syst`eme d’Euler de Kato// J. de Th´eorie des nombres de Bordeaux. 2013. Vol. 25,
197. P. 677–758.
198. Weil, A., La cyclotomie jadis et nagu`ere// S´eminaire Bourbaki, 26`eme ann´ee (1973/1974). 1975.
199. Lecture Notes in Math., Vol. 431, Exp. No. 452, P. 318–338. Springer, Berlin–New York.
200. Wiles, A., Higher explicit reciprocity laws// Ann. of Math. 1978. Vol. 107, P. 235–254.
201. Wintenberger, J.-P., Le corps des normes de certaines extensions infinies de corps locaux;
202. applications// Ann. Sci. ENS. 1983. Vol. 16, P. 59–89.
203. Witt, E., Zyklische K¨orper und Algebren der Charakteristik 𝑝 vom Grad 𝑝𝑛// J. Reine Angew.
204. Math. 1937. Vol. 176, P. 126–140.
205. Zerbes, S. L., The higher Hilbert pairing via (𝜙,𝐺)-modules// Preprint available at:
206. https://arxiv.org/pdf/0705.4269.
Рецензия
Для цитирования:
Бенуа Д.Г. Явные законы взаимности в теории локальных полей. Чебышевский сборник. 2025;26(4):37-70. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-4-37-70
For citation:
Benois D.G. Explicit reciprocity laws in the theory of local fields. Chebyshevskii Sbornik. 2025;26(4):37-70. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-4-37-70
Просмотров:
13
Послать статью по эл. почте 