Развитие метода Зигеля – Шидловского в теории трансцендентных чисел
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-4-7-32
Аннотация
В начале статьи приводится краткая биография А.Б. Шидловского. Затем рассказано об истоках метода — теоремах Эрмита и Линдемана. Формулируются основные определения и результаты работ К. Зигеля 1929 и 1949 годов. Дано определение 𝐸− функции и
условия нормальности совокупности функций, приведены примеры. Рассказ о работах А.Б.
Шидловского начат с условия неприводимости системы функций. Затем сформулированы три основные теоремы А.Б. Шидловского и их основные следствия. Приведена теорема о линейной независимости значений совокупности 𝐸− функций, с коэффициентами из мнимого квадратичного поля. Сформулирована аналогичная теорема в случае произвольных алгебраических коэффициентов. Сформулирована гипотеза К. Зигеля о структуре множества 𝐸− функций, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям, и рассказано о её
решении. Приведены формулировки теорем, при условиях которых обобщённые гипергеометрические функции алгебраически независимы над полем рациональных функций, а их значения в алгебраических точках алгебраически независимы. Рассказано о количественных задачах — оценках мер линейной и алгебраической независимости значений функций.
Приведены неулучшаемые оценки. Рассмотрен ещё один класс функций, к которому можно применить метод Зигеля – Шидловского, класс 𝐺−функций. Сформулировано условие сокращения факториалов, выполняющееся для всех рассматриваемых 𝐺− функций. Приведено понятие глобального соотношения и рассказано о возможности его применения к рядам, расходящимся в поле комплексных чисел. Рассказано об арифметической природе просуммированых расходящихся рядов.
Об авторах
Александр Иванович Галочкин
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Россия
Россия
доктор физико-математических наук, профессор
Василий Александрович Горелов
Московский энергетический институт
Россия
Россия
доктор физико-математических наук
Юрий Валентинович Нестеренко
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Россия
Россия
доктор физико-математических наук, профессор,
член-корреспондент РАН
Владислав Хасанович Салихов
Россия
доктор физико-математических наук, профессор
Владимир Григорьевич Чирский
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Россия
Россия
доктор физико-математических наук, профессор
Список литературы
1. Hermite Ch. Sur la fonction exponentielle.//C.R.Ac.Sci.(Paris) 1873.- v.77, pp.18-24,74-79,221-
2. ,285-293.
3. Lindemann F. Uber die Zahl 𝜋.//Math.Ann. 1882.- Bd.20, pp.679-692.
4. Siegel C.L.Uber einige Anwendungen Diophantischer Approximationen//Abh. Preuss. Acad. Wiss., Phys.-Math. Kl.-1929-1930.-N 1.-pp. 1-70.
5. Siegel C.L. Transcendental numbers.- Princeton: Princeton University Press, 1949.
6. Beukers F.; Brownawell W.D; Heckman G.. Siegel normality.// Ann.Math.-1988.-Ser.127.-P.279-308.
7. Шидловский А. Б. Трансцендентные числа.-М.: «Наука».-1987.-448 с.(Английский перевод:[3] Andrei B.Shidlovskii. Transcendental Numbers. W.de Gruyter.-Berlin.-New York.-1989.-467pp.).
8. Шидловский А. Б. О трансцендентности и алгебраической независимости значений целых
9. функций некоторых классов//ДАН СССР. -1954. -Т.90. -№4.-С. 697-700.
10. Шидловский А. Б. О трансцендентности и алгебраической независимости значений целых
11. функций некоторых классов//Учен. зап. МГУ. -1959. - Вып. 180. Мат. 9. - С.11-70.
12. Нестеренко Ю.В. Об алгебраической независимости значений Е-функций, удовлетворяю-
13. щих линейным неоднородным дифференциальным уравнениям. //Мат. заметки. -1969. -Т.5. - №.5. -С.587-589.
14. Галочкин А. И.Об алгебраической независимости значений Е-функций в некоторых трансцендентных точках.//Вестник МГУ.Сер.1. Матем. ,механ. -1970. -№5.-58-63
15. Шидловский А. Б. Нестеренко Ю.В. О линейной независимости значений 𝐸-функций.//Матем. Сб.-1996. -т.187. -№8.- с.93-108.
16. Andr´e Y. S´eries Gevrey de type arithm´etique,I,II//Ann.Math. 151.-2000. -705-740,741-756.
17. Beukers F. A refined version of the Siegel-Shidlovskii theorem//Ann. Math.163.-2006.-369-379.
18. Горелов В. А.. Частный случай задачи о линейной независимости значений Е-функций //
19. Вестник МЭИ.-2004.-№6.-С. 39-42.
20. Шидловский А. Б. Об одном критерии алгебраической независимости значений Е-
21. функций в алгебраических точках.// Вестн. Моск. ун-та. Сер 1. Матем.мех.-1989.-№6.-С.17-21.
22. Adamczewski S, Rivoal T. Exceptional values of E-functions at algebraic points// Bull. London
23. Math. Soc.-2018.-50.-P.697-708.
24. Салихов В. Х. Об алгебраической независимости значений Е-функций, удовлетворяющих
25. линейным дифференцивльным уравнениям первого порядка.// Мат. заметки.-1973.- Т.13.-№ 1.- С.29-40.
26. Горелов В. А.. Об ослабленной гипотезе Зигеля//Фунд.и прикл. матем.-2005.- т.11.-№6.-33-
27.
28. Горелов В. А.. Об алгебраической независимости значений Е-функций в особых точках и
29. гипотезе Зигеля.// Мат. заметки.-2000.- Т.67.- № 12.- С.174-190.
30. Fischler S, Rivoal T. On Siegel’s problem for E-functions // Rend.Sem.Mat. Univ.Padova
31. (2022).-83-115.
32. Галочкин А. И. О критерии принадлежности гипергеометрических функций Зигеля классу
33. Е-функций. //Мат. Заметки. -1981.-Т.29.-№1.-С. 3-14.
34. Maier W. Potenzreihen irrationalen Grenzwertes//J. Reine und angew. Math.-1927.-Bd.156.-S.
35. -148.
36. Олейников В. А.. Об алгебраической независимости значений Е-функций. //Мат. сб.- 1969.
37. Т.78(120), №2. -С.301-306.
38. Салихов В. Х. Критерий алгебраической независимости одного класса гипергеометрических E-функций.//Матем. сб. -1990.-т.181.-№2.-с.189-211.
39. Салихов В. Х. Неприводимость гипергеометрических уравнений и алгебраическая независимость значений E-функций.//Acta Arithm.-1990.-v.53.- p.453-471.
40. Fel’dman N.I; Nesterenko Yu.V. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol.44. A.N. Parshin,
41. I.R. Shafarevich (Eds.) Number Theory IV. Transcendental Numbers. Springer Verlag.-1998.
42. Borel E. Sur la nature arithmetique du nombre e. // C.R.Ac.Sci.(Paris).-1899.-V.128.-P,596-599.
43. Popken J. Zur Transzendenz von e. //Math.Zs.-1929.-Bd.29.-S. 525-541.
44. Mahler K. Zur Approximation der Exponentialfunction und des Logarithms. 1// J.reine und angew. Math.-1932.-Bd.166.-S. 118-136.
45. Lang S. A transcendence measure for 𝐸−functions. // Mathematika. -1962. -V.9. - P.157-161.
46. Галочкин А. И. Оценка меры взаимной трансцендентности значений E-функций.//Мат. Заметки.-1968.-Т.3.-№4.-С.377-386.
47. Шидловский А. Б. Об оценках меры трансцендентности значений 𝐸−функций.//Мат.
48. Заметки.-1967.-Т.2.-№1.-С.33-44.
49. Нестеренко Ю.В. Оценки порядков нулей аналитических функций некоторого класса и их
50. приложения в теории трансцендентных чисел. //ДАН СССР. -1972. -Т.205.-№2.-С. 292-295.
51. Bertrand D; Chirskii V, Yebbou J. Effective estimates for global relations on Euler-type series.//Ann.Fac.Sci. Toulouse.-2004.-V.XIII.-no.2.-PP.241-260.
52. Osgood C. Some theorems on Diophantine approximation.//Trans.Am.Math.Soc. 1966.- 123.-
53. -87.
54. Галочкин А. И. Оценки снизу линейных форм от значений некоторых гипергеометрических функций. //Мат. заметки.-1970.-Т.8.-№1.-С. 19-28.
55. Коробов А. Н.Оценки некоторых линейных форм. //Вестник МГУ, Серия 1. Матем.,
56. механ.1981.- № 6.С. 36-40.
57. Korobov A.N. Multidimensional continued fractions and estimates of linear forms.//ActaArith.-
58. -71.-331-349.
59. Галочкин А. И. О неулучшаемых по высоте оценках некоторых линейных форм. //Мат.сб.-
60. -Т.124(166).-№4(7).-С. 416-430.
61. Иванков П. Л. Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций. //
62. Мат.сб.-1991.-Т.182.-С. 282-302.
63. Галочкин А. И.Оценки снизу многочленов от значений аналитических функций одного класса. // Матем.сб. -1974. -т.95(137) №3(11). -с.396-417.
64. Chudnovsky G.V. On applications of Diophantine approximations. //Proc.Natl.Acad.Sci.USA.-
65. -v.81.-p.7261-7265.
66. Bombieri E. On 𝐺− functions// Recent Progress in Analytic Number Theory.v.2. London:
67. Academic Press, 1981.-p.1-68.
68. Харди Г. Г. Расходящиеся ряды.-М.:«URSS».-2006.-506с.
69. Рамис Ж.П. Расходящиеся ряды и асимптотические теории.-М.-Иж.: «Институт компьютерных технологий».-2002.-80 с.
70. Ferguson T. Algebraic properties of Э-functions.//J.Number Theory. 2021.- v.229, pp.168-178.
71. Fischler S.;Rivoal T. Arithmetic theory of E-operators .//J.d l’Ecole polytechnique-Mathematiques.-2016.-т. 3.-с. 31 -65
72. Fischler S.;Rivoal T. Microsolutions of differential operators and values of arithmetic Gevrey
73. series.//Michigan Math. J.-2018.-c.239-254
74. Rivoal T.On the arithmetic nature of the values of the Gamma function,Euler’s constant and
75. Gompertz’s constant.//American J.of Math.-2012.-n/140.-№2.-с.317-348.
76. Fischler S.;Rivoal T. Relations between values of arithmetic Gevrey series, and applications
77. to values of the Gamma function. arXiv:2301.13518v1[math.NT].
78. Andre Y.Arithmetic Gevrey series and transcendence. A survey.//J.Theor.Nombres Bordeaux.-
79. -т.15.-с.1-10.
80. Bertrand D.;Beukers F.Equations differentielles linearies et majorations de multiplicities.-1985.-
81. Annales scientifiques ENS.-т.18.-№1.-с.181-192.
82. Chirskii V. G. Product Formula, Global Relations and Polyadic Integers // Russ. J. Math.
83. Phys. 2019.- v.26, no.3, pp.286-305.
84. Chirskii V. G. Arithmetic properties of generalized hypergeometric 𝐹– series // Russ. J. Math.
85. Phys. 2020.- v.27, no.2, pp.175-184.
86. Чирский В. Г. Арифметические свойства значений обобщённых гипергеометрических рядов с полиадическими трансцендентными параметрами.//Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы упраления. -2022.-т. 506.-с. 95 – 107
87. Ernvall-Hytonen A.-M.;Matala-aho T.;Seppala I. Euler’s factorial series, Hardy integral, and
88. continued fractions.//J.Number Theory. 2023.-v.244.-pp.224-250.
Рецензия
Для цитирования:
Галочкин А.И., Горелов В.А., Нестеренко Ю.В., Салихов В.Х., Чирский В.Г. Развитие метода Зигеля – Шидловского в теории трансцендентных чисел. Чебышевский сборник. 2025;26(4):7-32. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-4-7-32
For citation:
Galochkin A.I., Gorelov V.A., Nesterenko Yu.V., Salihov V.Kh., Chirskii V.G. Development of Siegel–Shidlovskii method in transcendental number theory. Chebyshevskii Sbornik. 2025;26(4):7-32. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-4-7-32
Просмотров:
13
Послать статью по эл. почте 