Дискретный эргодический метод академика Ю. В. Линника
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-3-385-405
Аннотация
Данная статья посвящена 110-летию со дня рождения выдающегося математика с мировым именем академика Юрия Владимировича Линника и его дискретному эргодическому методу в теории чисел. Сначала приводятся биографические сведения о Ю.В. Линнике. Затем после краткого изложения необходимых сведений из арифметики кватернионов, включая теорию поворотов кватернионов, построенную Б. А. Венковым, рассматривается сама идея дискретного эргодического метода (далее ДЭМ), принадлежащая Ю.В. Линнику.
Следующая часть статьи посвящена изложению эргодической теоремы в случае кватернионов и ее применению к вопросу об асимптотике целых точек по областям на сфере при растущем радиусе.
После этого рассматриваются применения ДЭМ к неопределенным тернарным квадратичным формам, соответствующим случаям распределения целых точек на гиперболоидах, при этом вместо кватернионов используется аппарат арифметики матриц второго
порядка. Изложение статьи завершается постановкой некоторых нерешенных задач, связанных с применениями ДЭМ, и списком литературы.
Об авторе
Урусби Мухамедович Пачев
Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова
Россия
Россия
доктор физико-математических наук, профессор
Список литературы
1. Линник Ю.В. Обобщение теоремы Frobenius’а и установление связи ее с теоремой Hurwitz’а о композиции квадратичных форм. — Изв. АН СССР. Сер. мат., 1938, Т. 2, №1, С. 41-52.
2. Линник Ю.В. Несколько новых теорем о представлении больших чисел отдельными положительными тернарными квадратичными формами // ДАН СССР, 1939, Т. 24, №3, С. 211-212.
3. Линник Ю.В. О представлении больших чисел положительными тернарными квадратичными формами // ДАН СССР, 1939, Т. 25, №7, С. 578.
4. Линник Ю.В. Одна общая теорема о представлении чисел отдельными тернарными квадратичными формами // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1939, Т. 3, №1, С. 87-108.
5. Linnik Y. V. On certain results relating to positive ternary quadratic forms // Мат. сб., 1939, Т. 5, вып. 3, С. 453-471.
6. Линник Ю.В. О представлении больших чисел положительными тернарными квадратичными формами. Тезисы к дис. на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. — Л. 1940. 21 С.
7. Линник Ю.В. О представлении больших чисел положительными тернарными квадратичными формами // Изв. АН СССР, сер. матем., 1940, С. 363-402.
8. Линник Ю.В. Эргодические свойства алгебраических полей. Л., 1967. 208 С.
9. Венков Б. А. Об арифметике кватернионов // Изд-во Российской АН, 1922 (Второе сообщение)
10. Малышев А. В. О представлении целых чисел положительными квадратичными формами // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, Т. 65. М-Л. Изд-во АН СССР, 1962, 212 С.
11. Malyshev A. V. Yu. V. Linnik’s ergodic method in number theory // Acta Arithmetica XXII (1975) pp. 555-598.
12. Кассельс Дж. Рациональные квадратичные формы. — М.: Мир. 1982. 440 С.
13. Вон Р. Метод Харди-Литтлвуда. — М.: Мир. 1985.
14. Линник Ю.В. Кватернионы и числа Кэли: некоторые приложения арифметики кватернионов // Успехи мат. наук. 1949. Т. 4, вып. 5, С. 49-98.
15. Линник Ю.В., Малышев А. В. О целых точках на сфере // ДАН СССР, 1953, №2, С. 209-211.
16. Линник Ю.В. Асимптотическое распределение целых точек на сфере // ДАН СССР, 1954, Т. 96, №5, С. 909-912.
17. Линник Ю.В. Асимптотическое распределение приведенных бинарных квадратичных форм в связи с геометрией Лобачевского // Вестн. ЛГУ, 1955, №2. Сер. мат., физ., хим., вып. 1, С. 3-23.
18. Линник Ю.В. Асимптотическая геометрия гауссовых родов; аналог эргодической теоремы. ДАН СССР, 1956, Т. 108, №6, С. 1018-1021.
19. Скубенко Б. Ф. Асимптотическое распределение целых точек на однополостном гиперболоиде и эргодические теоремы // Изв. АН СССР. сер. матем. 26, №5 (1962) С. 721-752.
20. Малышев А. В., Пачев У. М. Об арифметике матриц второго порядка // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1980. Т. 93, С. 87-141.
21. Малышев А. В. О применении дискретного эргодического метода в аналитической арифметике неопределенных тернарных квадратичных форм // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1980. Т. 93. С. 5-23.
22. Пачев У. М. О распределении целых точек на некоторых двуполостных гиперболоидах // Зап. научн. семин. ЛОМИ. — 1980. Т. 93. С. 87-141.
23. Малышев А. В., Нгуен Нгор Гой. О распределении целых точек на некоторых однополостных гиперболоидах // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1983. Т. 121. С. 83-93.
24. Карпов А. Н. О представлении целых чисел изотропными квадратичными формами // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1986. Т. 151. С. 66-67.
25. Малышев А. В., Широков Б. М. Новое доказательство ключевой леммы дискретного эргодического метода для вектор-матриц второго порядка // Вестник Ленингр. ун-та. 1991. С. 34-40.
26. Malyshev A. V. Discrete ergodic method and applications to the aritmetic of ternary quadratic forms // Topics in classical number theory. Budapest. — 1981. V. 34. P. 1023-1049.
27. Пачев У. М. Представление целых чисел изотропными тернарными квадратичными формами // Изв. РАН. — 2006. Сер. матем. Т. 70, №3. — С. 167-184.
28. Линник Ю.В. Асимптотическая геометрия гауссовых родов; аналог эргодической теоремы // Докл. АН СССР. — 1956. Т. 108, №6. — С. 1018-1021.
29. Малышев А. В., Пачев У. М. О числе классов целочисленных положительных бинарных квадратичных форм, арифметический минимум которых делится на заданное число // Алгебра и теория чисел. Нальчик. 1979. — Вып. 4. — С. 33-37.
30. Пачев У. М. О числе классов гауссового рода, арифметический минимум которых делится на квадрат заданного нечетного числа // Математические заметки. 1994. — Т. 55. — №2. — С. 118-127.
31. Пачев У. М. Эргодические свойства потоков положительных бинарных квадратичных форм в гауссовых родах // Зап. научн. семин. ЛОМИ РАН. — 1997. — Т. 236. — С. 149-161.
32. Пачев У. М. О распределении приведенных положительных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов по классам вычетов // Ученые записки Орловского университета. — 2012. №6 (50). — С. 177-182.
33. Пачев У. М. О распределении приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов по классам вычетов // Чебышевский сборник. 2013. — Т. 14. — Вып. 2 (46). — С. 139-150.
34. Пачев У. М. Асимптотическое распределение классов положительных бинарных квадратичных форм с условиями делимости коэффициентов // Фундаментальная прикладная математика. 2005. — Т. 11 (6). — С. 123-130.
35. Пачев У. М. Об асимптотике числа приведенных целочисленных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов // Сибирский математический журнал. — 2007. — Т. 48. №2. — С. 376-388.
36. Голубева Е. П. О представлении больших чисел тернарными квадратичными формами // Докл. АН СССР. 1970. Т. 91, №3. С. 519-521.
37. Быковский В. А. Арифметико-аналитические свойства бинарных положительно определенных квадратичных форм // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1985. Т. 144. С. 5-20.
38. Duke W. Hyperbolic distribution problems and half-integral weight Maas forms // Invent. math. — 1988. V 92, №1. p. 78-90.
39. Голубева Е. П. Геодезические на верхней полуплоскости и распределение квадратичных иррациональностей // Зап. научн. семин. ЛОМИ РАН. 1988. Т. 254. С. 28-55.
40. Eichler M. Quadratische Formen und ortogonale Gruppen. Berlin, 1952.
41. Peters M. Darstellungen durch definite ternare quadratische Formen. Acta arithm. — 1977. Bd. 34, №1.
42. Тетерин Ю.Г. О представлении целых чисел положительными тернарными квадратичными формами // Зап. научн. сем. ЛОМИ. Т. 121. Изд-во "Наука". Ленинград 1983, С. 117-156.
43. Тетерин Ю.Г. Асимптотическая формула для числа представлений вполне положительными тернарными квадратичными формами // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1985, том 49, вып. 2. С. 393-426.
Рецензия
Для цитирования:
Пачев У.М. Дискретный эргодический метод академика Ю. В. Линника. Чебышевский сборник. 2025;26(3):385-405. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-3-385-405
For citation:
Pachev U.M. Discrete ergodic method of academician Yu. V. Linnik. Chebyshevskii Sbornik. 2025;26(3):385-405. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-3-385-405
Просмотров:
2
Послать статью по эл. почте 