Об одном распределении, связанном с рядами Фарея - II
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-3-136-173
Аннотация
В настоящей статье продолжены исследования некоторых арифметических свойств рядов Фарея с помощью метода, созданного Ф. Бока, К. Кобели и А. Захареску (2001).
Пусть Φ𝑄 — классический ряд Фарея порядка 𝑄. Задавшись фиксированными числами 𝐷 ⩾ 2 и 0 ⩽ 𝑐0 ⩽ 𝐷 − 1, пометим красным цветом все дроби в Φ𝑄, знаменатели которых ≡ 𝑐0 (mod𝐷). Рассмотрим далее промежутки в Φ𝑄 с окрашенными концами, внутри которых нет других окрашенных дробей, т. е. дробей 𝑎/𝑞 с условием 𝑞 ≡ 𝑐0 (mod𝐷). Какова предельная (при 𝑄 → +∞) доля 𝜈(𝑟;𝐷, 𝑐0) промежутков, внутри которых имеется в
точности 𝑟 неокрашенных дробей, в общем числе таких промежутков (𝑟 = 0, 1, 2, 3, . . .)?
По сути, выражение для такой доли может быть получено из общих результатов, принадлежащих К. Кобели, М. Выжийту и А. Захареску (2012). Однако такое выражение для 𝜈(𝑟;𝐷, 𝑐0) представляет собой сумму площадей некоторых многоугольников, определяемых посредством специального геометрического преобразования. В настоящей статье мы получаем явные выражения для таких долей 𝜈(𝑟;𝐷, 𝑐0) для случаев 𝐷 = 3 и 𝑐0 = 1, 2. Тем самым с учётом предыдущей работы автора (2023) случай разности 𝐷 = 3 оказывается изученным полностью.
Ключевые слова
ряд Фарея,
дроби Фарея,
треугольник Фарея,
арифметические свойства,
распределение,
BCZ-преобразование,
преобразование Фарея.
При поддержке: Работа выполнена в МЦМУ МИАН при финансовой поддержке Минобрнауки России (соглашение № 075-15-2025-303).
Об авторе
Максим Александрович Королёв
Математический институт им. В. А. Стеклова Российской Академии наук
Россия
Россия
Список литературы
1. Королёв М.А., Об одном распределении, связанном с рядами Фарея // Чебышевский сб., 2023. Т. 24. № 4. С. 137–190.
2. Korolev M.A., A distribution related to Farey sequences - I // arXiv:2502.19881 [math.NT] (27.02.2025).
3. Gutthery S.B., A Motif of Mathematics // Docent Press, Boston, Massachusetts, USA. 2011.
4. Cobeli C., Zaharescu A., The Haros-Farey sequence at two hundred years. A survey // Acta Univ. Apulensis Math. Inform. 2003. Vol. 5. P. 1–38.
5. Alkan E., Ledoan A.H., Vˆajˆaitu M., Zaharescu A., Discrepancy of fractions with divisibility constraints // Monatsh. Math. 2006. Vol. 149. P. 179–192.
6. Alkan E., Ledoan A.H., Vˆajˆaitu M., Zaharescu A., Discrepancy of sets of fractions with congruence constraints // Rev. Roumaine Math. Pures Appl. 2006. Vol. 51. P. 265–276.
7. Boca F.P., Heersink B., Spiegelhalter P., Gap distribution of Farey fractions under some divisibility constraints // Integers. 2013. Vol. 13. Paper No. A44. 15 pp.
8. Heersink B., Poincare sections for the horocycle ow in covers of 𝑆𝐿(2;R) = 𝑆𝐿(2;Z) and applications to Farey fraction statistics // Monatsh. Math. 2016. Vol. 179. P. 389–420.
9. Ledoan A.H., The discrepancy of Farey series // Acta Math. Hungar. 2018. Vol. 156. P. 465–480.
10. Athreya J.S., Cheung Y., A Poincar´e section for horocycle flow on the space of lattices // arXiv:1206.6597 [math.DS] (28.06.2012).
11. Athreya J.S., Chaika J., Leli`evre S., The gap distribution of slopes on the golden 𝐿 // arXiv:1308.4203 [math.DS] (20.08.2013).
12. Taha D., The Boca-Cobeli-Zaharescu Map Analogue for the Hecke Triangle Groups 𝐺𝑞 // arXiv:1810.10668 [math.DS] (25.10.2018).
13. Cheung Y., Quas A., BCZ map is weakly mixing // arXiv:2403.14976v1 [math.DS] (22.03.2024).
14. Cobeli C., Zaharescu A., On the intervals of a third between Farey fractions // arXiv:math/0511363v1 [math.NT] (14.11.2005).
15. Haynes A., The distribution of special subsets of the Farey sequence // J. Number Theory. 2004. Vol. 107. P. 95–104.
16. Haynes A.K., Numerators of differences of nonconsecutive Farey fractions // Int. J. NumberTheory. 2010. Vol. 6. № 3. P. 655–666.
17. Boca F.P., Siskaki M., A note on the pair correlation of Farey fractions // arXiv:2109.12744v2 [math.NT] (19.09.2022).
18. Marklof J., Smallest denominators // arXiv:2310.11251v1 [math.NT] (17.10.2023).
19. Chahala B., Chaube S., Pair correlation of Farey fractions with square-free denominators // arXiv:2303.12882v1 [math.NT] (22.05.2023).
20. Chahal B., Chaubey S., Goel S., On the distribution of index of Farey sequences // Res. Number Theory. 2024. Vol. 10. Article No 27. 34 pp.
21. Chen H., Haynes A., Expected value of the smallest denominator in a random interval of fixed radius // arXiv:2109.12668v2 [math.NT] (15.11.2022).
22. Sayous R., Gaps in the complex Farey sequence of an imaginary quadratic number field // arXiv:2407.04380v1 [math.NT] (05.07.2024).
23. Ren X., On 𝑞-deformed Farey sum and a homological interpretation of 𝑞-deformed real quadratic irrational numbers // arXiv:2210.06056v4 [math.RT] (05.01.2024).
24. Boca F.P., Cobeli C., Zaharescu A., A conjecture of R. R. Hall on Farey points // J. reine angew. Math. 2001. Vol. 535. P. 207–236.
25. Cobeli C., Zaharescu A., The distribution of rationals in residue classes // arXiv:math/0511356v1 [math.NT] (14.11.2005).
26. Cobeli C., Vˆajˆaitu M., Zaharescu A., The distribution of rationals in residue classes // Math. Reports. 2012. Vol. 14(64). № 1. P. 1–19.
27. Boca F.P., Cobeli C., Zaharescu A., On the distribution of the Farey sequence with odd denominators // Michigan Math. J. 2003. Vol. 51. P. 557–573.
28. Badziahin D.A., Haynes A.K., A note on Farey fractions with denominators in arithmetic progressions // Acta Arith., 2011. Vol. 146. № 3. P. 205–215.
29. Смирнов Е.Ю., Фризы и цепные дроби. М., МЦНМО, 2022.
Рецензия
Для цитирования:
Королёв М.А. Об одном распределении, связанном с рядами Фарея - II. Чебышевский сборник. 2025;26(3):136-173. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-3-136-173
For citation:
Korolev M.A. A distribution related to Farey series - II. Chebyshevskii Sbornik. 2025;26(3):136-173. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-3-136-173
Просмотров:
3
Послать статью по эл. почте 