О полумодулях над тривиальным полукольцом

Аннотация

Изучаются полумодули над одноэлементным полукольцом {𝑒}, которое мы называем тривиальным полукольцом. Под полумодулем над тривиальным полукольцом понимается
коммутативная полугруппа ⟨𝐴,+⟩ вместе с отображением 𝑒 : 𝐴 → 𝐴, 𝑎 → 𝑒𝑎, которое: аддитивно, то есть 𝑒(𝑎+𝑏) = 𝑒𝑎+𝑒𝑏 для любых 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴; идемпотентно, то есть 𝑒(𝑒𝑎) = 𝑒𝑎 для всех 𝑎 ∈ 𝐴; 𝑒𝑎+𝑒𝑎 = 𝑒𝑎 для любого 𝑎 ∈ 𝐴. При этом отображение 𝑒 : 𝐴 → 𝐴, или действие
𝑒 на 𝐴, называется ретракцией коммутативной полугруппы ⟨𝐴,+⟩. Для ретракции 𝑒 на 𝐴 множество 𝑒𝐴 будет множеством всех неподвижных точек отображения 𝑒, называемым 𝑒-множеством. Коммутативная полугруппа ⟨𝐴,+⟩ может иметь самые разные ретракции и, соответственно, различные 𝑒-множества. Кроме того, одно и то же множество на полурешетке 𝐴 может служить 𝑒-множеством самых разных ретракций 𝑒 на 𝐴.
На ряде примеров показано, что целесообразно исследовать ретракции на полурешетках ⟨𝐴,+⟩, которые будем называть 𝑒-полумодулями.
Дана некоторая классификация ретракций. Описано строение ретракций цепей. Доказано, что все непустые подмножества произвольной цепи являются 𝑒-множествами тогда и только тогда, когда эта цепь дискретная. Рассмотрены возрастающие, убывающие и линейные ретракции на полурешетках и решетках. Показано, что возрастающие ретракции e и убывающие ретракции 𝑒 однозначно определяются своими 𝑒-множествами.
Получены также другие результаты, приведены соответствующие примеры.