Интегральные уравнения дробного порядка с переменным внешним коэффициентом и монотонной нелинейностью
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-3-44-57
Аннотация
При достаточно легко обозримых ограничениях на нелинейности, без предположения, что они удовлетворяют условию Липшица, методом монотонных (по Браудеру – Минти) операторов доказаны глобальные теоремы о существовании, единственности и оценках решения для трех различных классов неоднородных нелинейных интегральных уравнений, в которые операторы дробного (по Риману – Лиувиллю) интегрирования с переменным внешним коэффициентом входят линейно или нелинейно, либо эти операторы содержат нелинейность под знаком интеграла (уравнения типа Гаммерштейна). В последнем случае существование и единственность решения установлены без условия коэрцитивности на нелинейность. Во всех случаях важную роль играют найденные в работе условия при которых операторы дробного интегрирования с переменным внешним коэффициентом действуют непрерывно из вещественных пространства Лебега 𝐿𝑝(𝑎, 𝑏) в сопряженные с ними пространства и являются строго положительными. Доказанные теоремы в рамках пространства 𝐿2(𝑎, 𝑏) охватывают соответствующие линейные уравнения с интегралами дробного порядка. Из полученных оценок, в частности, непосредственно вытекает, что при условиях доказанных теорем соответствующие однородные линейные и нелинейные интегральные уравнения имеют лишь тривиальное (нулевое) решение.
Приведены следствия, иллюстрирующие основные результаты.
При поддержке: Работа выполнена в рамках государственного задания Минобрнауки РФ (проект FEGS-2023-0003)
Об авторе
Султан Нажмудинович Асхабов
Чеченский государственный университет имени А. А. Кадырова
Россия
Россия
доктор физико-математических наук
Список литературы
1. Gorenflo R., Vesella S. Abel integral equations. Analysis and applications. Lecture Notes in Mathematics (Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, 1991).
2. Асхабов С. Н. Нелинейные уравнения типа свертки (Физматлит, М., 2009).
3. Brunner H. Volterra integral equations: an introduction to the theory and applications (Cambridg: Univ. Press, 2017).
4. Тихонов А. Н. Об остывании тел при лучеиспускании, следующем закону Stefan’a-Boltzmann’a // Изв. АН СССР (отд. матем. и ест. наук, серия геогр. и геофиз.). 1937. №3. С. 461-479.
5. Zabrejko P., Rogosin S. Nonlinear Abel equation with monotone operators // J. Electrotechn. Math. (Pristina). 1997. №1. P. 53-65.
6. Grasmair M., Hildrum F. Subgradient-based Lavrentiev regularisation of monotone ill-posed problems // Inverse Problems. 2025. Vol. 41. P. 1-35.
7. Okrasinska-Piociniczak H., Piociniczak J. Numerical method for Volterra equation with a power-type nonlinearity // Applied Mathematics and Computation. 2018. Vol. 337. P. 452–460.
8. Andersen K. F., Sawyer E. T. Weighted norm inequalities for the Riemann-Liouville and Weil fractional integral operators // Trans. Amer. Math. Soc. 1988. Vol. 308, №2. P. 547-558.
9. Прохоров Д. В., Степанов В. Д. Весовые оценки операторов Римана-Лиувилля и приложения // Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова. 2003. Т. 243. С. 289-312.
10. Асхабов С. Н. Нелинейные уравнения с интегралами дробного порядка // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2007. Т. 9, №3. С. 9-14.
11. Асхабов С. Н., , Джабраилов А. Л. Нелинейные уравнения с интегралами дробного порядка на полуоси // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2012. Т. 14, №1. С. 28-34.
12. Нахушев A. M. Дробное исчисление и его применение (Физматлит, М., 2003).
13. Tricomi F. G. Sull’ equazioni integrale di Abel con limiti d’integrazione constanti // Rend. Inst. Lombardo. 1927. Vol. 60, №2. P. 598-604.
14. Gajewski H., Gr¨oger K., Zacharias K. Nichtlineare operatorgleichungen und operatordifferentialgleichungen (Berlin: Akademie-Verlag, 1974).
15. Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I. Fractional integrals and derivatives. Theory and applications (Yverdon: Gordon and Breach Science Publishers, 1993).
16. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа (Физматлит, М., 2004).
17. Зорич В.А. Математический анализ. Часть I. — Изд. 4-е, испр. (МЦНМО, М., 2002).
18. Нахушев А. М. Еще раз об одном свойстве оператора Римана-Лиувилля // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2001. Т. 5, №2. С. 42-43.
19. Brezis H., Browder F. E. Some new results about Hammerstein equations // Bull. Am. Math. Soc. 1974. Vol. 80. P. 567-572.
20. Askhabov S. N. Nonlinear itegral equations with potential-type kernels on a segment // Journal of Mathematical Sciences. 2018. Vol. 235, №4. P. 375-391.
21. Асхабов С. Н. Приближенное решение нелинейных уравнений с весовыми операторами типа потенциала // Уфимский математический журнал. 2011. Т. 3, №4. С. 8-13.
22. Асхабов С. Н. Нелинейные уравнения типа свертки в пространствах Лебега // Математические заметки. 2015. Т. 97, №5. С. 643-654.
Рецензия
Для цитирования:
Асхабов С.Н. Интегральные уравнения дробного порядка с переменным внешним коэффициентом и монотонной нелинейностью. Чебышевский сборник. 2025;26(3):44-57. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-3-44-57
For citation:
Askhabov S.N. Integral equations of fractional order with a variable external coefficient and monotonic nonlinearity. Chebyshevskii Sbornik. 2025;26(3):44-57. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-3-44-57
Просмотров:
3
Послать статью по эл. почте 