СТРОЕНИЕ КОНЕЧНЫХ ПОЛУАБЕЛЕВЫХ n-АРНЫХ ГРУПП

Теория n-арных групп возникла как обобщение теории обычных (бинарных) групп. Многие определения из теории групп имеют n-арный аналог в теории n-арных групп. Например, n-арными аналогами абелевой группы являются абелева и полуабелева n-арные группы. n- арная группа ⟨G, f⟩ называется полуабелевой, если в ней верно тождество f(x1, x2, . . . , xn −1, xn) = f(xn, x2, . . . , xn−1, x1). Если же в n-арной группе ⟨G, f⟩ верны тождества f(x1, . . . , xn) = f(xσ(1), . . . , xσ(n)) для любой подстановки σ ∈ Sn, то ее называют абелевой. Имеется тесная связь между группами и n-арными группами. Отметим частный случай теоремы Глускин-Хоссу для полуабелевых n-арных групп. На любой полуабелевой n-арной группе ⟨G, f⟩ можно определить абелеву группу ⟨G,+⟩, где a + b = f(a, c, . . . , c, ¯c, b) для c из G. Тогда для элемента d = f(c, . . . , c) и автоморфизма ϕ(x) = f(c, x, c, . . . , c, ¯c) группы ⟨G,+⟩, верны равенства ϕ(d) = d, ϕn−1(x) = x для любого x ∈ G, f(a1, . . . , an) = a1 + ϕ(a2) + . . . + ϕn−2(an−1) + an + d. Группу ⟨G,+⟩ называют ретрактом n-арной группы ⟨G, f⟩ и обозначают retc⟨G, f⟩. Верно и обратно: в любой абелевой группе ⟨G,+⟩ для выбранных автоморфизма ϕ и элемента d с указанными выше условиями задается полуабелева n-арная группа ⟨G, f⟩. n-арную группу ⟨G, f⟩ в этом случае называют (ϕ, d)-определенной на группе ⟨G,+⟩ и обозначают derϕ,d⟨G,+⟩. Пусть ⟨G, f⟩ = derϕ,d⟨G,+⟩ – полуабелева n-арная группа. Для каждого автоморфизма ϕ′ группы ⟨G,+⟩, сопряженного автоморфизму ϕ, на группе ⟨G,+⟩ рассмотрим эндоморфизм μϕ′ (x) = x + ϕ′(x) + . . . + ϕ′n−2(x). Im μϕ′ – образ этого эндоморфизма. Пусть ϕ′ = θ ◦ ϕ ◦ θ−1. Тогда для каждого такого автоморфизма θ имеем смежный класс θ(d) + Im μϕ′ по подгруппе Im μϕ′ . Набор {θ(d) + Im μϕ′ | θ ∈ Aut ⟨G,+⟩} всех таких смежных классов назовем определяющим набором множеств для n-арной группы ⟨G, f⟩. Доказано, что полуабелевы n-арные группы ⟨G, f⟩ = derϕ,d⟨G,+⟩ и ⟨G, f′⟩ = derψ,q⟨G,+⟩ изоморфны тогда и только тогда, когда автоморфизмы ϕ и ψ сопряжены в группе автоморфизмов группы ⟨G,+⟩ и определяющие наборы множеств этих n-арных групп одинаковые с точностью до перестановки. В работе изучаются конечные полуабелевы n-арные группы. Показано, что любая полуабелева n-арная группа ⟨G, f⟩ порядка |G| = pα1 1 pα2 2 . . . pαk k изоморфна прямому произведению ⟨G1, f1⟩ × ⟨G2, f2⟩ × . . . × ⟨Gk, fk⟩ n-арных pi-групп ⟨Gi, fi⟩ порядков |Gi| = pαi i , где pi – различные простые числа. Это разложение определено однозначно. Опираясь на указанное разложение конечной полуабелевой n-арной группы в прямое произведение примарных полуабелевых n-арных групп и на его единственность, мы приходим к основному утверждению о конечных полуабелевых n-арных группах: всякая конечная полуабелева n-арная группа изоморфна прямому произведению примарных полуабелевых n-арных групп. Любые два таких разложения имеют по одинаковому числу множителей и примарные множители в этих разложениях по одному и тому же простому числу имеют одинаковые инварианты. Доказана основная теорема о строении конечных абелевых n-арных групп: всякая конечная абелева n-арная группа изоморфна прямому призведению примарных абелевых полуциклических n-арных групп. Любые два таких разложения имеют по одинаковому числу множителей каждого порядка и по каждому простому делителю порядка этой n-арной группы произведения примарных множителей в этих разложениях имеют одинаковые инварианты.

1. Курош А. Г. Общая алгебра. Лекции 1969–1970 уч. г. М.: Наука, 1974. 158 с.

2. Dornte W. Untersuchungen uber ainen verallgemeinerten Gruppenbegrief // Math. Zeitshcr. 1928. 29. P. 1–19.

3. Post E. L. Poluadic groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1940. 48. P. 208–350.

4. Сушкевич А. К. Теория обобщенных групп. Харьков–Киев: Хозтехиздат, 1937. 157 с.

5. Русаков С. А. Алгебраические n-арные системы. Минск.: Навука i технiка, 1992. 264 с.

6. Гальмак А. М. n-арные группы. Часть I. Гомель.: Гомельский гос. университет им. Ф. Скорины, 2003. 195 с.

7. Гальмак А. М. n-арные группы. Часть 2. Минск.: Издательский центр БГУ, 2007. 325 с.

8. Глускин Л. М. Позиционные оперативы // Мат. сборник. 1965. Т. 68 (110), № 3. С. 444–472.

9. Hosszu M. On the explicit form of n-group operacions // Publ. Math. 1963. V. 10. № 1–4. P. 88–92.

10. Glazek K., Michalski J., SierockiА I. On evaluation of some polyadic groups // Contributions to General Algebra 3, Proc. Conf., Vienna. 1985. P. 159–171.

11. Щучкин Н. А. Прямое произведение n-арных групп // Чебышевский сборник. 2014. Т. 15, Выпуск 2. С. 101–121.

12. Щучкин Н. А. Полуциклические n-арные группы // Известия ГГУ им. Скорины. 2009. 3 (54). C. 186–194.

13. Dudek W. A., Michalski J. On retrakts of polyadic groups // Demonstratio Math. 1984. 17. P. 281–301.

14. Бощенко А. П., Щучкин Н. А. Конечные абелевы n-арные группы // Чебышевский сборник. 2011. Т. XII, Выпуск 2(38). C. 5–14.

15. Гальмак А. М. Полуабелевы n-арные группы с идемпотентами // Веснiк ВДУ им. П. М. Машэрава. 1999. 2 (12). C. 56–60.

16. Dudek W. A. Remarks to Glazek’s results on n-ary groups // Discussiones Mathematicae. General Algebra and Applications. 2007. 27. P. 199–233.

17. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т.2. М.: "Мир 1977. 415 с.

18. Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. 495 с.