Тензор инерции твердого тела на плоскости Лобачевского и в псевдо-евклидовом пространстве

В работе исследуется тензор инерции твердого тела в трехмерном (псевдо-)евклидовом пространстве (𝑉, 𝑔). Конфигурационное многообразие 𝑄 системы — шестимерная группа Ли E(𝑉, 𝑔) ∼= 𝑉 ⋋Aut(𝑉, 𝑔) движений этого пространства, а кинетическая энергия является квадратичной формой 𝑇(𝑤, 𝑎) на алгебре Ли e(𝑉, 𝑔) ∼= 𝑉 + g, где g = aut(𝑉, 𝑔). Это позволяет определить симметрический оператор 𝐽 : g → g* со свойством 𝑇(0, 𝑎) = 1/2 (𝐽𝑎, 𝑎), называемый (ковариантным) тензором инерции твердого тела. Для его вычисления введено «псевдо-евклидово векторное произведение» [, ]𝑔 в (псевдо-)евклидовом пространстве (𝑉, 𝑔) и с помощью этой операции построен изоморфизм 𝜇 : 𝑉 → g. Доказано, что при этом изоморфизме построенная операция [, ]𝑔 преобразуется в скобку Ли на алгебре Ли g, а скалярное произведение — в форму Киллинга – Картана с точностью до скалярного множителя. Получены явные формулы для операции [, ]𝑔.
С помощью построенной операции [, ]𝑔 определен оператор ̃︀ 𝜔
= 𝜇𝜔 ∈ g мгновенного вращения с угловой скоростью 𝜔 ∈ 𝑉 , и для любой точки 𝑞 ∈ 𝑉 определены ее вектор мгновенной скорости 𝑣 = ̃︀ 𝜔𝑞 = [𝜔, 𝑞]𝑔 ∈ 𝑉 , вектор кинетического момента 𝑀(𝑞) = [𝑞,𝑚𝑣]𝑔 ∈ 𝑉 и оператор инерции ̂︀ 𝐽(𝑞) : 𝑉 → 𝑉 , 𝜔 ↦→ 𝑀(𝑞). Доказаны симметричность оператора инерции ̂︀ 𝐽(𝑞) и формула 𝑇(𝑞) = 1/2 𝑔( ̂︀ 𝐽(𝑞)𝜔,𝜔) для кинетической энергии точки.
Изучены геометрические свойства оператора инерции ̂︀ 𝐽 для одноточечных и многоточечных тел. В частности, в псевдо-евклидовом случае ограничение соответствующей квадратичной формы на внутренность светового конуса неотрицательно. Построены примеры 2- и 3-точечных тел, показывающие, что других ограничений на сигнатуру оператора инерции нет. Найдены все возможные сигнатуры для оператора инерции ̂︀ 𝐽 твердого тела в трехмерном псевдо-евклидовом пространстве. Доказано, что для тел, расположенных внутри светового конуса (например, для «тарелок» на плоскости Лобачевского), оператор
инерции имеет сигнатуру (−,+, +) или (0,+, +). Для тел, расположенных снаружи светового конуса, возможны сигнатуры (−, 𝑠,−) для всех 𝑠 ∈ {0,+, −}. Остальные сигнатуры (−,+, 0) и (−, 0, 0) также реализуются 2- и 3-точечными телами.

1. Kobb G. Sur le probleme de la rotation d’un corps autour d’un point fixe // Bull. Soc. Math. France. 1895. Vol. XXIII. P. 210–215.

2. De Donder T. Mouvement d’un solide dans un espace Riemannien, 1 and 2 // Bull. Acad. Roy. Belg. 1942. Vol. 28. P. 8–16 and 60–66.

3. Goldstein H. Classical Mechanics. — Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1950.

4. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1989.

5. Болсинов А. В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. — Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999.

6. Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твердого тела: Гамильтоновы методы, интегрируемость, хаос. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005.

7. Арнольд В. И., Хесин Б. А. Топологические методы в гидродинамике. — М.: МЦНМО, 2007.

8. Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинаp по гpуппам Ли и алгебpаическим гpуппам. — М.: Наука, 1988.

9. Винберг Э. Б. Линейные представления групп. — М.: Наука, 1985.

10. Кириллов А. А. Характеры унитарных представлений групп Ли // Функц. анализ и его прил. 1968. Т. 2, №2. С. 40–55.

11. Marsden J. E., Ratiu T. Introduction to Mechanics and Symmetry. — N.Y.: Springer-Verlag, 1999.

12. Борисов А. В., Мамаев И. С. Изоморфизмы некоторых интегрируемых систем на плоскости и сфере // Нелинейная динамика. 2007. Т. 3, №1. С. 49–56.

13. Weyl H. Space-Time-Matter. — London: E.P. Dutton and Company, 1922.

14. Blaschke W. Nicht-Euklidische Geometrie und Mechanik, I, II, III. — Leipzig-Berlin: B. G. Teubner, 1942. Hamburger Mathematische Einzelschriften. Vol. 34.

15. Borisov A. V. Mamaev I. S. Rigid body dynamics in non-Euclidean spaces // Russ. J. Math. Phys. 2016. Vol. 23. P. 431–454.

16. Killing W. Die Mechanik in den nicht-Euklidischen Raumformen // J. Reine Angew. Math. 1885. Vol. 98. P. 1–48.

17. H¨older E. Die Dynamik des starren K¨orpers in einem nicht-Euklidischen Raum // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universit¨at Hamburg, Springer Berlin Heidelberg. 1956. Vol. 20. P. 242–252.

18. Clifford W. K. Motion of a solid in elliptic space // Math. Papers, Tucker, R. (Ed.), Macmillan, London. 1882. P. 378–384.

19. Жуковский Н. Е. О движении материальной псевдосферической фигуры по поверхности псевдосферы // М.: Полн. Собр. Соч. 1937. Т. 1. С. 490-535.

20. De Francesco D., Sul moto di un corpo rigido in uno spazio di curvatura costante // Math. Ann. 1902. Vol. 55, №4. P. 573–584.

21. Heath R. S. On the dynamics of a rigid body in elliptic space // Philos. Trans. R. Soc. Lond. 1884. Vol. 175. P. 281–324.

22. Nagy P. T. Dynamical invariants of rigid motions on the hyperbolic plane // Geom. Dedicata. 1991. Vol. 37. P. 125–139.

23. Salvai M. On the dynamics of a rigid body in the hyperbolic space // J. Geom. Phys. 2000. Vol. 36, №1–2. P. 126–139.

24. Zitterbarth J. Some remarks on the motion of a rigid body in a space of constant curvature without external forces // Demonstratio Math. 1991. Vol. 24, №3–4. P. 465–494.

25. Буров А.А. О движении тела с плоскостью симметрии по трехмерной сфере под действием сферического аналога ньютоновского притяжения // Прикладная математика и механика. 2008. Т. 72, №1. P. 23–34.

26. Дубошин Г. Н. Небесная механика. Основные методы и задачи. — М.: Наука, 1968.

27. Кострикин А. И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. — М: Наука, 1986.

28. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — М.: Физматгиз, 1958. («Теоретическая физика», том I).