Топология слоений Лиувилля трехмерных биллиардов с проскальзыванием
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-2-7-32
Аннотация
Рассматриваются биллиарды в трехмерных областях, ограниченных софокусными квадриками, с проскальзыванием на границе. Такие динамические системы являются интегрируемыми по Лиувиллю в кусочно-гладком смысле. В случае двумерных столов класс
биллиардов с проскальзыванием был введен А.Т. Фоменко. Для нескольких типов софокусных биллиардов с проскальзыванием определены классы гомеоморфности поверхностей постоянной энергии, построены бифуркационные диаграммы, описана топология слоения Лиувилля малых окрестностей особых и неособых слоев.
Ключевые слова
интегрируемая система,
биллиард,
интегрирумый биллиард,
слоение Лиувилля,
бифуркационная диаграмма,
проскальзывание.
При поддержке: Работа выполнена при поддержке гранта Российского научного фонда 22-71-00111 в МГУ имени М. В. Ломоносова. Г. В. Белозеров и В. Н. Завьялов являются стипендиатами фонда БАЗИС.
Об авторах
Глеб Владимирович Белозеров
Lomonosov Moscow State University
Россия
Россия
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Владимир Николаевич Завьялов
Московский государственный университет
им. М. В. Ломоносова; Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана; Московский центр Фундаментальной и прикладной математики
Россия
Россия
аспирант
Список литературы
1. Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. Ижевск: Удмуртский университет, 1999. 408 с.
2. Козлов В.В., Трещев Д.В. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: Изд-во МГУ, 1991. 240 с.
3. Dragovi´c V., Radnovi´c M. Bifurcations of Liouville tori in elliptical billiards // Regul. Chaotic Dyn. 2009. Vol. 14, no. 4-5. P. 479-494.
4. Драгович В., Раднович М. Интегрируемые биллиарды, квадрики и многомерные призмы Понселе. М.-Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2010. 338 с.
5. Фокичева В.В. Описание особенностей системы "биллиард в эллипсе"// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1: Матем., мех. 2012. № 5. С. 31-34.
6. Фокичева В.В. Описание особенностей системы бильярда в областях, ограниченных софокусными эллипсами или гиперболами // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1: Матем., мех. 2014. № 4. С. 18-27.
7. Фокичева В.В. Топологическая классификация биллиардов в локально плоских областях, ограниченных дугами софокусных квадрик // Матем. сб. 2015. Т. 206, № 10. С. 127-176.
8. Ведюшкина В.В., Фоменко А.Т., Харчева И.С. Моделирование невырожденных бифуркаций замыканий решений интегрируемых систем с двумя степенями свободы интегрируемыми топологическими биллиардами // Докл. РАН. 2018. Т. 479, № 6. С. 607-610.
9. Ведюшкина В.В., Харчева И.С. Биллиардные книжки моделируют все трехмерные бифуркации интегрируемых гамильтоновых систем // Матем. сб. 2018. Т. 209, № 12. С. 17-56.
10. Ведюшкина В.В. Интегрируемые биллиарды реализуют торические слоения на линзовых пространствах и 3-торе // Матем. сб. 2020. Т. 211, № 2. С. 46-73.
11. Ведюшкина В.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые геодезические потоки на ориентируемых двумерных поверхностях и топологические биллиарды // Изв. РАН. Сер. матем. 2019. Т. 83, № 6. С. 63-103.
12. Fomenko A.T., Vedyushkina V.V., Zav’yalov V.N. Liouville foliations of topological billiards with slipping // Russ. J. Math. Phys. 2021. Vol. 28, no. 1. P. 37-55.
13. Ведюшкина В.В., Завьялов В.Н. Реализация геодезических потоков с линейным интегралом биллиардами с проскальзыванием // Матем. сб. 2022. Т. 213, № 12. С. 31-52.
14. Завьялов В.Н. Биллиард с проскальзыванием на любой рациональный угол // Матем. сб. 2023. Т. 214, № 9. С. 3-26.
15. Харчева И.С. Изоэнергетические многообразия интегрируемых бильярдных книжек // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1: Матем., мех. 2020. № 4. С. 12-22.
16. Фоменко А.Т., Ведюшкина В.В. Бильярды и интегрируемость в геометрии и физике. Новый взгляд и новые возможности // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1: Матем., мех. 2019. № 3. С. 15-25.
17. Ведюшкина В.В., Кибкало В.А., Фоменко А.Т. Топологическое моделирование интегрируемых систем биллиардами: реализация числовых инвариантов // Докл. РАН. Матем., информ., процессы упр. 2020. Т. 493, № 1. С. 9-12.
18. Кибкало В.А., Фоменко А.Т., Харчева И.С. Реализация интегрируемых гамильтоновых систем бильярдными книжками // Тр. ММО. 2021. Т. 82, № 1. С. 45-78.
19. Ведюшкина В.В. Локальное моделирование бильярдами слоений Лиувилля: реализация реберных инвариантов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1: Матем., мех. 2021. № 2. С. 28-32.
20. Ведюшкина В.В., Кибкало В.А. Реализация бильярдами числового инварианта расслоения Зейферта интегрируемых систем // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1: Матем., мех. 2020. № 4. С. 22-28.
21. Кузнецова А.А. Моделирование вырожденных особенностей интегрируемых бильярдных систем бильярдными книжками // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1: Матем., мех. 2023. № 5. С. 3-10.
22. Белозеров Г.В. Топологическая классификация биллиардов в трехмерном евклидовом пространстве, ограниченных софокусными квадриками // Матем. сб. 2022. Т. 213, № 2. С. 3-36.
23. Якоби К. Лекции по динамике. М.-Л.: ОНТИ, 1936. 272 с.
24. Белозеров Г.В. Топология изоэнергетических 5-поверхностей трехмерного бильярда внутри трехосного эллипсоида с потенциалом Гука // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1: Матем., мех. 2022. № 6. С. 21-31.
25. Lazutkin V. KAM theory and semiclassical approximations to eigenfunctions. Berlin: Springer, 1993. 387 p.
26. Кудрявцева Е.А. Интегрируемые по Лиувиллю обобщённые биллиардные потоки и теоремы типа Понселе // Фундамент. и прикл. матем. 2015. Т. 20, № 3. С. 113-152.
27. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия. Топология. Классификация: В 2 т. Ижевск: Удмуртский университет, 1999. Т. 1. 444 с.; Т. 2. 448 с.
28. Nguen T.Z. Symplectic topology of integrable Hamiltonian systems, I: Arnold–Liouville with singularities // Compositio Math. 1996. Vol. 101. P. 179-215.
29. Fomenko A.T., Kibkalo V.A. Saddle singularities in integrable Hamiltonian systems: examples and algorithms // Contemporary approaches and methods in fundamental mathematics and mechanics. Cham: Springer, 2021. P. 3-26. (Underst. Complex Syst.).
30. Ведюшкина В.В., Кибкало В.А., Пустовойтов С.Е. Реализация фокусных особенностей интегрируемых систем биллиардными книжками с потенциалом Гука // Чебышевский сб. 2021. Т. 22, № 5. С. 44-57.
31. Кобцев И.Ф. Эллиптический биллиард в поле потенциальных сил: классификация движений, топологический анализ // Матем. сб. 2020. Т. 211, № 7. С. 93-120.
32. Болсинов А.В., Рихтер П.Х., Фоменко А.Т. Метод круговых молекул и топология волчка Ковалевской // Матем. сб. 2000. Т. 191, № 2. С. 3-42.
Рецензия
Для цитирования:
Белозеров Г.В., Завьялов В.Н. Топология слоений Лиувилля трехмерных биллиардов с проскальзыванием. Чебышевский сборник. 2025;26(2):7-32. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-2-7-32
For citation:
Belozerov G.V., Zavyalov V.N. The topology of Liouville foliations of three-dimensional billiards with slipping. Chebyshevskii Sbornik. 2025;26(2):7-32. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-2-7-32
Просмотров:
11
Послать статью по эл. почте 