Численный метод решения интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра с помощью искусственных нейросетей

Многие задачи математики, механики, физики и других инженерных дисциплин приводят к уравнениям, в которых неизвестная функция стоит под знаком интеграла. Интегральные уравнения являются полезными математическими инструментами во многих областях, поэтому они исследуются во многих различных аспектах, таких, как существование решений, аппроксимация решений, расчет поправки или неисправимости, корректировка решений и т. д. Во многих статьях упоминаются так называемые PINN (physicsinformed neural networks, что можно перевести как физически обусловленные нейронные сети), которые нашли применение для решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных, а также систем дифференциальных уравнений.
PINN также применяются для решения интегральных уравнений, однако, в публикациях
обычно приводятся методы для решения некоторого класса уравнений, к примеру, уравнения Фредгольма 2-го рода либо уравнения Вольтерра 2-го рода. В этой статье будет описан общий метод решения непрерывных интегральных уравнений с помощью нейросетей, который обобщает их как для интегральных уравнений Фредгольма, так и для интегральных уравнений Вольтерра. Суть метода заключается в том, что искомая функция аппроксимируется нейронной сетью, которая по сути является огромной функцией с большим числом настраиваемых параметров, которые выбираются из условия минимальности квадрата невязки, для чего параметры нейронной сети настраиваются с помощью алгоритма оптимизации L-BFGS. Результаты метода ANN сравниваются с точным решением для нескольких типовых интегральных уравнений.

1. Hosseini S. M., Shahmorad S. Numerical piecewise approximate solution of Fredholm integrodifferential equations by the Tau method //Applied Mathematical Modelling. 2005. Т. 29. №. 11. С. 1005-1021.

2. Maleknejad K., Nouri K., Yousefi M. Discussion on convergence of Legendre polynomial for numerical solution of integral equations //Applied Mathematics and Computation. 2007. Т.

3. №. 2. С. 335-339.

4. Maleknejad K., Aghazadeh N., Rabbani M. Numerical solution of second kind Fredholm integral equations system by using a Taylor-series expansion method //Applied Mathematics and Computation. 2006. Т. 175. №. 2. С. 1229-1234.

5. G¨ulsu M., Sezer M. The approximate solution of high-order linear difference equations with variable coefficients in terms of Taylor polynomials //Applied mathematics and computation. 2005. Т. 168. №. 1. С. 76-88.

6. Ghasemi M., Kajani M. T., Babolian E. Numerical solutions of the nonlinear Volterra–Fredholm integral equations by using homotopy perturbation method // Applied Mathematics and Computation. 2007. Т. 188. №. 1. С. 446-449.

7. Ghasemi M., Kajani M. T., Babolian E. Numerical solutions of the nonlinear Volterra–Fredholm integral equations by using homotopy perturbation method // Applied Mathematics and Computation. 2007. Т. 188. №. 1. С. 446-449.

8. Abbasbandy S. Numerical solutions of the integral equations: Homotopy perturbation method and Adomian’s decomposition method // Applied Mathematics and Computation. 2006. Т. 173. №. 1. С. 493-500.

9. Nasir A. N. K., Tokhi M. O. Novel metaheuristic hybrid spiral-dynamic bacteria-chemotaxis

10. algorithms for global optimisation //Applied Soft Computing. 2015. Т. 27. С. 357-375.

11. Hu Y. C. Flow-based tolerance rough sets for pattern classification //Applied Soft Computing. 2015. Т. 27. С. 322-331.

12. Livi L., Rizzi A., Sadeghian A. Granular modeling and computing approaches for intelligent analysis of non-geometric data //Applied Soft Computing. 2015. Т. 27. С. 567-574.

13. Bildik N., Konuralp A., Yal¸cınba¸s S. Comparison of Legendre polynomial approximation and variational iteration method for the solutions of general linear Fredholm integro-differential equations //Computers and Mathematics with Applications. 2010. Т. 59. №. 6. С. 1909-1917.

14. Saneifard R. Extended artificial neural networks approach for solving two-dimensional fractional order Volterra-type integro-differential equations //Information Sciences. 2022. Т. 612. С. 887-897.

15. Jadoon I. Integrated meta-heuristics finite difference method for the dynamics of nonlinear unipolar electrohydrodynamic pump flow model //Applied Soft Computing. 2020. Т. 97. С. 106-791.

16. Livi L., Rizzi A., Sadeghian A. Granular modeling and computing approaches for intelligent analysis of non-geometric data //Applied Soft Computing. 2015. Т. 27. С. 567-574.

17. Lagaris I. E., Likas A., Fotiadis D. I. Artificial neural networks for solving ordinary and partial differential equations //IEEE transactions on neural networks. 1998. Т. 9. №. 5. С. 987-1000.

18. Koryagin A., Khudorozkov R., Tsimfer S. PyDEns: A python framework for solving differential equations with neural networks // ArXiv preprint arXiv: 1909.11544. 2019.

19. Guan Y. Solving Fredholm integral equations using deep learning //International Journal of Applied and Computational Mathematics. 2022. Т. 8. №. 2. С. 87.

20. Effati S., Buzhabadi R. A neural network approach for solving Fredholm integral equations of the second kind //Neural Computing and Applications. 2012. Т. 21. С. 843-852.

21. Jafarian A., Measoomy S., Abbasbandy S. Artificial neural networks based modeling for solving Volterra integral equations system //Applied Soft Computing. 2015. Т. 27. С. 391-398.

22. Zhang J. B., Yu D. M., Pan X. M. Physics-Informed Neural Networks For the Solution of

23. Electromagnetic Scattering by Integral Equations //2022 International Applied Computational

24. Electromagnetics Society Symposium (ACES-China). IEEE, 2022. С. 1-2.