О группе классов форм высоких степеней

Аннотация

В теории чисел группы классов форм были введены Гауссом для бинарных квадратичных форм. Гаусс ввел понятия эквивалентности и композиции и определил групповую структуру во множестве классов эквивалентности в семействе квадратичных форм с дискриминантами, не делящимися на квадрат целого числа. Дальнейшие исследования были развиты в разных направлениях. Одним из них является обобщение теории на квадратичные формы от большего числа переменных, где широко изучены вопросы, связанные с представлением целых чисел различными квадратичными формами. Другое направление относится к понятию композиции. Однако с ростом количества переменных становится все труднее введение понятия композиции форм. В 1898 г. А. Гурвиц показал, что для квадратичных форм с числом переменных больше 8 очень сложно ввести удовлетворительное понятие композиции. Этот феномен впоследствии был разъяснен Ю. В. Линником с точки зрения теории некоммутативных алгебр с делением. Установлено, что понятие «дискриминанта» не имеет столь существенного значения для форм высших степеней, чем для
квадратичных форм. Хорошо известна строгая разница между свойствами форм степени
выше 2 с одинаковыми дискриминантами. Для устранения этих трудностей удобно рассмотреть формы, связанные с данным расширением.