О специальных экстремальных множествах, связанных с таблицей умножения П. Эрдёша

Аннотация

В статье исследуется следующая задача, возникающая из теории произведений множеств. Пусть имеются два конечных подмножества из множества натуральных чисел, которые всюду в статье будут обозначаться как 𝐴 и 𝐵. Полагаем, что они являются подмножеством интервала чисел [1,𝑄]. Вводим по определению множество, которое называется множеством произведения 𝐴𝐵, элементы которого представляются в виде произведения элементов из 𝐴,𝐵, иными словами такие 𝑎𝑏, где 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵. В данной статье изучается задача об экстремально больших множествах 𝐴 конечного интервала [1,𝑄], которые обладают асимтотически наибольшим возможным произведением, то есть асимптотически наибольшим значением |𝐴𝐴| равным |𝐴|2/2. В работе [2], была получена новая нетривиальная нижняя оценка на размер такого множества 𝐴 по сравнению с предыдущим результатом статьи К.Форда [1]. В данной статье мы представляем метод , который улучшает
предыдущий результат, а также рассматриваем другую версию этой задачи. В целом мы
следуем и развиваем формулировки, аргументы, идеи и подходы предложенные в работах
[1], [2].