Задача Аполлония для двух объектов и её исследование
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2024-25-3-158-176
Аннотация
Как известно, классическая задача (проблема) Аполлония о построении с помощью циркуля и линейки окружности, касающейся трёх данных, обладает конечным числом решений, либо не имеет решений, если заданные окружности концентрические. При этом допускаются так называемые вырожденные случаи: любая из данных окружностей может являться точкой, то есть окружностью нулевого радиуса, или прямой, то есть окружностью бесконечного радиуса.
Настоящая работа посвящена исследованию задачи Аполлония не для трёх окружностей, а для двух, включая вырожденные случаи. Представлена классификация всех случаев рассматриваемой задачи в зависимости от вида заданных объектов (точки, прямой или окружности) и от их взаимного расположения на вещественной координатной плоскости.
В каждом из приведённых случаев были не только найдены все решения, но и указаны
некоторые их взаимосвязи.
Подходы к решению полученных в классификации случаев основаны на понятии геометрического места точек, равноудалённых от заданных объектов задачи, и на условиях равенств расстояний от предполагаемого центра искомой касательной окружности до каждого из заданных объектов.
Отметим, что в отличие от классической задачи Аполлония решение всегда существует, более того, число решений бесконечно.
Об авторах
Анна Сергеевна Кашина
ГБОУ Школа № 597 «Новое Поколение»
Россия
Россия
Лилия Михайловна Цыбуля
Московский педагогический государственный университет
Россия
Россия
кандидат физико–математических наук
Список литературы
1. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов – 9-е изд., исправленное, М.: МЦНМО, 2019. 564 с.
2. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. – М.: Высшая школа, 1979. – 559 с.
3. Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. Учебное пособие для студентов-заочников III-IV курсов физико-математических факультетов педагогических институтов. – Просвещение, 1980 г. – 175 с.
4. Muirhead R. F. On the Number and Nature of the Solutions of the Apollonian Contact Problem, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, Volume 14, 2009, С. 135-147.
5. Потоскуев Е. В., Звавич Л. И. Геометрия. 10 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений с углубл. и профильным изучением математики. – М.: Дрофа, 2008. – 223 с.
6. Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 7–11 кл. общеобразоват. учреждений. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 1995. – 383 с.
7. Блинков А. Д., Блинков Ю. А. Геометрические задачи на построение. – 4-е изд., стереотип. – М.: МЦНМО, 2017. – 152 с.
8. Морозов Е. А. Обобщенная задача Аполлония// Математическое просвещение. Сер. 3. Вып. 23. М.: МЦНМО, 2019. C. 80–111.
9. Котельников К. Обобщение задачи Аполлония Пергамского // Вестник Опытной Физики и Элементарной Математики. Вып. 107, 1890 г. С. 206-210.
10. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. – М.: ACT: Астрель, 2006. – 991 с.
11. Аргунов Б. И., Балк М. Б. Геометрические построения на плоскости. Пособие для студентов педагогических институтов. –М., Учпедгиз, 1957. 268 с.
12. Атанасян Л. С., Базылев В. Т. Геометрия. В 2-х ч. Ч. I. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. – М.: Просвещение, 1986. – 336 с.
13. Ильин В. А., Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебник. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998. – 320 с.
14. Парамонова И. М. Лекции по алгебре для учителей математики. – М.: МЦНМО, 2017. – 128 с.
15. Кашина А. С., Цыбуля Л. М. Исследование задачи Аполлония для двух объектов //Алгебра, теория чисел, дискретная геометрия и многомасштабное моделирование: Современные проблемы, приложения и проблемы истории: Материалы XXII Международной конференции, посвященной 120-летию со дня рождения академика А. Н. Колмогорова и 60-летию со дня открытия школы-интерната № 18 при Московском университете. – Тула: Тул. гос. пед. ун-т им. Л. Н. Толстого, 2023, с. 233–236.
Рецензия
Для цитирования:
Кашина А.С., Цыбуля Л.М. Задача Аполлония для двух объектов и её исследование. Чебышевский сборник. 2024;25(3):158-176. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2024-25-3-158-176
For citation:
Kashina A.S., Tsybulya L.M. The Apollonius problem for two objects and study of it. Chebyshevskii Sbornik. 2024;25(3):158-176. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2024-25-3-158-176
Просмотров:
84
Послать статью по эл. почте 