АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА НА ВЕКТОРНЫХ ГРУППАХ

Абелева группа называется полупростой, если она является аддитив- ной группой некоторого полупростого кольца. Проблема описания полупростых групп была сформулирована Р. А. Бьюмонтом и Д. А. Лоувером. Настоящая работа посвящена изучению полупростых векторных групп. Векторной группой называется прямое произведение ∏ i∈I Ri абелевых групп без кручения Ri (i ∈ I) ранга 1. В статье описаны полупростые группы в классе редуцированных векторных групп ∏ i∈I Ri в случае не бо- лее, чем счетного множества I. Умножением на абелевой группе G называют гомоморфизм µ: G⊗G → → G, это умножение обозначается также знаком ×, то есть µ(g1 ⊗ g2) = = g1×g2 для g1, g2 ∈ G. Группа G с заданным на ней умножением × называется кольцом на группе G, которое обозначается (G, ×). Показано, что любое умножение на прямом произведении групп ранга 1 определяется его ограничением на сумму этих групп. В частности, имеет место следующее утверждение. Лемма 3. Пусть I не более, чем счетное множество, G = ∏ i∈I Ri — векторная группа, S = ⊕ i∈I Ri . Если в кольце (G, ×) выполняется S×S = 0, то (G, ×) — кольцо с нулевым умножением. Пусть ∏ i∈I Ri — векторная группа, t(Ri) — тип группы Ri . Обозначим через I0 множество индексов i ∈ I, для которых t(Ri) — идемпотентный тип с бесконечным числом нулей. Если k ∈ I, то I0(k) — множество ин- дексов i ∈ I0, для которых t(Ri) ≥ t(Rk). Теорема 1. Пусть I не более, чем счетное множество. Редуцированная векторная группа ∏ i∈I Ri является полупростой тогда и только тогда, когда 1) среди групп Ri (i ∈ I) нет групп идемпотентного типа с конечным числом нулей, 2) для любой группы Rk неидемпотентного типа множество I0(k) бес- конечно. Заметим, что набор типов групп Ri (i ∈ I) в случае не более, чем счет- ного множества I является инвариантом группы G = ∏ i∈I Ri , поэтому описание полупростых групп в теореме 7 не зависит от разложения группы G в прямое произведение групп ранга 1.

1. Kompantseva E. I. Semisimple rings on completely decomposable abelian groups // J. of Math. Sciences. 2009. V. 154. №3. P. 324-332.

2. Kompantseva E. I. Torsion free rings // J. of Math. Sciences. 2010. V. 171. №2. P. 213-247.

3. Beamont R. A., Lawver D. A. Strongly semisimple abelian groups // Publ. J. Math. 1974. V. 53, №2. P. 327-336.

4. Beaumont R.A., Pierce R. S. Torsion free rings // Ill. J. Math. 1961. V. 5. P.61-98.

5. Gardner B. J. Radicals of abelian groups and associative rings // Acta Math. Hung. 1973. V. 24. P. 259-268.

6. Gardner B. J., Jackett D.R. Rings on certain classes of torsion free abelian groups // Comment. Math. Univ. Carol. 1976. V. 17. P.493–506.

7. Feigelstock S. On groups satisfying ring properties // Comment. Math. Univ. Saneti Pauli. 1976. V. 25. P. 81–87.

8. Feigelstosk S. The additive groups of subdirectly irreducible rings // Bull. Aust. Math. Soc. 1979. V. 20. P. 164–170.

9. Eclof P. C., Mez H. C. Additive groups of existentially closed rings // Abelian Groups and Modules: Proceeding of the Udine conference. Vienna-N.York: Springer-Verlag, 1984. P. 243–252.

10. Мишина А. П. О прямых слагаемых полных прямых сумм абелевых групп без кручения ранга 1 // Сиб. мат. журн. 1962. №3. С. 244–249.

11. Мишина А. П. Сепарабельность полных прямых сумм абелевых групп без кручения ранга 1 // Мат. сб. 1962. V. 57. С. 375–383.

12. Los J. On the complete direct sum of coutable abelian groups // Publ. Math. Debrecen. 1954. V. 3. P. 269–272.

13. Fuchs L. Infinite Abelian Groups, Vol. 1. New York-London: Academic Press, 1971. 335p.

14. Fuchs L. Infinite Abelian Groups, Vol. 2. New York-London: Academic Press, 1973. 416p.

15. Jacobson N. Structure of rings. Amer. Math. Soc., Providence, R. I. 1956.

16. Sasiada E. On the isomorphism of decompositions of torson free abelian groups into complete direct sums of groups of rank one // Bull. Acad. Polon. Sci. 1959. V. 7. P. 145-149.

17. Wiskless W. J. Abelian group which admit only nilpotent multiplications // Pasif. J. Math. 1972. V. 40, №1. P. 251–259.