Аналог теоремы Колмогорова о суперпозициях непрерывных функций для функциональных систем полиномиальных и рациональных функций

Аннотация

Функциональная система представляет собой множество функций с некоторым набором операций, применяемых к этим функциям и приводящих к получению других функций из этого же множества.
Функциональные системы являются одним из основных объектов дискретной математики и математической кибернетики, поскольку они являются математическими моделями реальных и абстрактных управляющих систем.
Проблематика функциональных систем обширна. Одной из основных задач является проблема полноты, состоящая в описании таких подсистем функций, которые являются полными, т.е. из этих функций с помощью заданных операций над ними можно получить все функции.
К проблеме полноты примыкает известная теорема Колмогорова о представлении непрерывных функций нескольких переменных в виде суперпозиций непрерывных функций одной переменной и сложения (формулировку этой теоремы см. ниже).
Целью настоящей статьи является следующая задача: имеет ли место аналог теоремы Колмогорова о представлении непрерывных функций нескольких переменных в виде
суперпозиций непрерывных функций одной переменной и сложения для функциональных
систем полиномиальных функций и функциональных систем рациональных функций ?
Оказывается, что поставленный вопрос (аналог теоремы Колмогорова) имеет отрицательный ответ для функциональных систем полиномиальных функций с натуральными и целыми коэффициентами, а для функциональных систем полиномиальных функций с рациональными и действительными коэффициентами и для функциональных систем рациональных функций с рациональными и действительными коэффициентами – ответ положительный. Эти теоремы и являются основными результатами данной статьи.