К ЗАДАЧЕ ЧИСЛЕННОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ НЕТРИВИАЛЬНЫХ НУЛЕЙ L-ФУНКЦИЙ ДИРИХЛЕ ЧИСЛОВЫХ ПОЛЕЙ

Аннотация

В случае L-функций Дирихле с числовыми характерами разработан алгоритм определения нетривиальных нулей таких L-функций, в осно­ ве которого лежит построение полиномов Дирихле, приближающих L­ функцию в любом прямоугольнике, расположенном в критической полосе, с показательной скоростью. Для L-функций Дирихле числовых полей последний результат не име­ ет места, так как в противном случае степенной ряд с теми же коэффи­ циентами, что и ряд Дирихле, определённый L-функцией, сходился бы к функции, голоморфной в точке 1. Но известно, что такой степенной ряд в случае числового поля, отличного от поля рациональных чисел, анали­ тически непродолжим за границу сходимости. В связи с этим требуется разработать новую вычислительную схему определения нетривиальных нулей L-функций числовых полей. Изучениюю этой задачи и посвящена данная работа. Показано, что существует последовательность полиномов Дирих­ ле, приближающих в любом прямоугольнике, расположенном в критиче­ ской полосе, L-функцию Дирихле числового поля со скоростью, превосхо­ дящей любую степенную функцию. В случае разложения L-функции Ди­ рихле числового поля в произведение классических L-функций Дирихле указана явная конструкция аппроксимирующих полиномов Дирихле, ну­ ли которых в заданном прямоугольнике совпадают с нулями L-функции. Также обсуждаются вопросы, связанные с явной конструкцией таких полиномов Дирихле в случае произвольных L-функций Дирихле.