Исследование структуры слоения Лиувилля интегрируемого эллиптического биллиарда с полиномиальным потенциалом
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2024-25-1-62-102
Аннотация
В работе рассматривается плоский биллиард, ограниченный эллипсом, в поле потенциальной силы. Была найдена явная формула полиномиального потенциала, сохраняющего
интегрируемость такого биллиарда. Для него была изучена структура слоения Лиувилля на всех неособых уровнях энергии с помощью метода разделения переменных. А именно, был предложен алгоритм, который строит бифуркационную диаграмму, а также инвариант Фоменко-Цишанга, исходя из значений параметров потенциала. Кроме того, была изучена топология изоэнергетического многообразия и обнаружены случаи динамики твердого тела, лиувиллево эквивалентные нашему биллиарду.
Ключевые слова
интегрируемая гамильтонова система,
биллиард,
полиномиальный потенциал,
слоение Лиувилля,
инвариант Фоменко-Цишанга.
При поддержке: Работа выполнена при поддержке гранта РНФ 22-71-10106 в МГУ им. М.В.Ломоносова. Автор является стипендиатом фонда «БАЗИС»
Об авторе
Сергей Евгеньевич Пустовойтов
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Россия
Россия
аспирант,
Список литературы
1. Биркгоф Дж. Динамические системы М.;Л.; Гостехиздат, 1941.
2. Якоби К. Лекции по динамике. М.; Гостехиздат, 1936.
3. V. Kaloshin, A. Sorrentino, On the local Birkhoff conjecture for convex billiards, Ann. of Math. 2018. 188, No1. 315–380.
4. A. A. Glutsyuk, On polynomially integrable Birkhoff billiards on surfaces of constant curvature, Journal of the European Mathematical Society, 2021. 23, No 3. 995–1049.
5. Фокичева В. В., Топологическая классификация биллиардов в локально плоских областях, ограниченных дугами софокусных квадрик, Матем. сб., 206:10 (2015), 127-176.
6. В. В. Ведюшкина, И. С. Харчева, Биллиардные книжки моделируют все трехмерные бифуркации интегрируемых гамильтоновых систем, Матем. сб., 209:12 (2018), 17-56
7. В. А. Кибкало, А.Т. Фоменко, И. С. Харчева, Реализация интегрируемых гамильтоновых систем бильярдными книжками, Тр. ММО, 82:1 (2021), 45–78
8. M. Bialy, A. E. Mironov, Algebraic non-integrability of magnetic billiards / J. Phys. A, 49:45 (2016), 455101, 18 pp.
9. В. В. Ведюшкина, С. Е. Пустовойтов, “Классификация слоений Лиувилля интегрируемых топологических биллиардов в магнитном поле”, Матем. сб., 214:2 (2023), 23–57
10. Козлов В. В. Некоторые интегрируемые обобщения задачи Якоби о геодезических на эллипсоиде.//Прикладная математика и механика, том 59, вып. 1 1995.
11. V. I. Dragovich, Integrable perturbations of a Birkhoff billiards inside an ellipse, J. Appl. Maths Mechs, Vol. 62, No. 1, pp. 159-162, 1998
12. И. Ф. Кобцев, Эллиптический биллиард в поле потенциальных сил: классификация движений, топологический анализ, Матем. сб., 211:7 (2020), 93–120
13. Пустовойтов С. Е. Топологический анализ эллиптического биллиарда в потенциальном поле четвертого порядка // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. — 2021.
14. Болсинов А. В., Фоменко А. Т., Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Том I, II— Ижевск: РХД, 1999.
15. В. В. Козлов, Д. В. Трещев, Генетическое введение в динамику систем с ударами, М.: Изд-во МГУ, 1991.
16. Харламов М. П. Топологический анализ и булевы функции: I. Методы и приближения к классическим системам //Нелинейная динамика, 2010, том 6, №4, с.769-805.
17. Фоменко А.Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости. - Известия АН СССР. Серия матем. 1986, т.50, No.6, с.1276-1307.
18. Фоменко А.Т. "Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем". - Успехи математических наук, 1989, т.44, вып.1 (265), с.145-173.
19. Фоменко А.Т., Цишанг Х. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. - Известия АН СССР. 1990, т.54, No.3, с.546-575.
20. Фоменко А.Т. "Теория бордизмов интегрируемых гамильтоновых невырожденных систем с двумя степенями свободы. Новый топологический инвариант многомерных интегрируемых систем". - Известия АН СССР. серия матем. т.55, No.4, 1991, с.747-779.
Рецензия
Для цитирования:
Пустовойтов С.Е. Исследование структуры слоения Лиувилля интегрируемого эллиптического биллиарда с полиномиальным потенциалом. Чебышевский сборник. 2024;25(1):62-102. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2024-25-1-62-102
For citation:
Pustovoitov S.E. Research of the structure of the Liouville foliation of an integrable elliptical billiard with polynomial potential. Chebyshevskii Sbornik. 2024;25(1):62-102. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2024-25-1-62-102
Просмотров:
683
Послать статью по эл. почте 