О некоторых методах оценки показателя иррациональности значений функции arctan 𝑥

Оценивание качества приближения иррационального или трансцендентного числа рациональными дробями является одним из направлений теории диофантовых приближений.
Количественная характеристика такого приближения называется мерой иррациональности числа. С конца 19 века учёными разрабатывались методы оценки меры иррациональности и были получены её значения для огромного количества иррациональных и трансцендентных чисел. Наиболее часто используемый метод получения таких оценок – построение линейных форм с целыми коэффициентами, приближающих данную величину и исследование их асимптотического поведения. Приближающие линейные формы конструируется на основе цепных дробей, аппроксимаций Паде, бесконечных рядов, вещественных и комплексных интегралов. Способы исследования асимптотики таких форм в настоящее время достаточно стандартны, но построение линейной формы, обладающей хорошими приближающими свойствами, и есть главная задача.
Первые оценки значений функции arctan 𝑥 были получены М.Хуттнером (1987) на основе интегрального представления гипергеометрической функции Гаусса. В 1993 г.
А.Хеймонен, Т.Матала-Ахо, К. Ваананен, доказали общую теорему об оценках мер иррациональности логарифмов рациональных чисел, а позже с помощью приближающей
конструкции, использующей полиномы Якоби, получили новые оценки, в частности для
значений функции arctan 𝑥. В дальнейшем на основе различных интегралов строились как
общие методы оценивания значений arctan 𝑥, так и специализированные методы для конкретных значений. В работах Е.Б.Томашевской, получившей в 2008 общую оценку для значений arctan 1
𝑛, 𝑛 ∈ N, был использован комплексный интеграл, имеющий симметричную подынтегральную функцию. Свойство симметричности сыграло важную роль при получении оценки, поскольку оно улучшало асимптотические свойства коэффициентов линейной формы. Некоторые интегральные конструкции, использование другими исследователями, также обладали симметричностью разных типов. В данной статье рассмотрены некоторые методы оценивания значений функции arctan 𝑥, их особенности, способ исследования, и указаны наилучшие на настоящее время оценки.

1. Бейтмен Г.,Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция.

2. Функции Лежандра//Москва: Наука, 1973. 296 с.

3. Huttner M. Irrationalit´e de certaines integrals hyperg´eom´etriques// Journal of Number

4. Theory.1987. Vol. 26. P.166-178.

5. Heimonen A., Matala-Aho Т.,V¨a¨an¨anen К. On irrationality measures of the values of Gauss

6. hypergeometric function// Manuscripta Math. 1993. Vol. 81. P. 183-202.

7. Heimonen A.Matala-Aho Т.,V¨a¨an¨anen К. An application of Jacobi type polynomials to

8. irrationality measures// Bulletin of the Australian mathematical society. 1994. Vol. 50, № 2. P.

9. -243.

10. Hata M. Rational approximations to 𝜋 and some other numbers// Acta Arithm. 1993. Vol.

11. LXIII, № 4. P.335-349.

12. Chudnovsky G. V. On the method of Thue-Siegel // Annals of math. 1983. Vol. 117, № 2. P.

13. -382.

14. Салихов В. Х., Золотухина Е. С., Башмакова М. Г. Применение симметричных интегралов в теории диофантовых приближений: монография// Брянск: БГТУ, 2021. 124 с.

15. Салихов В. Х. О мере иррациональности ln 3 // Доклады Академии наук.2007. № 417 (6). С.753-755.

16. Салихов В. Х. О мере иррациональности числа 𝜋.//Математические заметки. 2010. Т. 88, № 4. С.583-593.

17. Zudilin W., Zeilbergerger D. The Irrationality Measure of Pi is at most 7.103205334137... // Mosc. J. of Comb. Number Theory. 2020. Vol. 9, № 4. P. 407-419.

18. Томашевская Е. Б. О мере иррациональности числа ln 5+ 𝜋/2 и некоторых других чисел//Чебышевский сборник.2007. № 8(2). С. 97-108.

19. Томашевская Е. Б. О диофантовых приближениях значений некоторых аналитических функций: специальность 01.01.06 ≪Математическая логика, алгебра и теория чисел≫: дис. на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук// Брян. гос. техн. ун-т. Брянск, 2009. 99 с. Библиогр.: с. 94-99.

20. Сальникова Е. С. Диофантовы приближения log 2 и других логарифмов // Математические заметки. 2008. Т.83, № 2. С.88-96.

21. Viola C., Zudilin W. Hypergeometric transformations of linear forms in one logarithm //

22. Func. Approx. Comment. Math. 2008. Vol. 39, № 2. P.211-222.

23. Башмакова М. Г. О приближении значений гипергеометрической функции Гаусса рациональными дробями//Математические заметки. 2010. Т.88, № 6. С.822-835.

24. Башмакова М. Г., Золотухина Е. С. О показателях иррациональности чисел вида √𝑑ln√((√𝑑+1)/(√𝑑−1)) // Чебышевский сборник. 2017. Т. 18, № 1(61). С. 29-43.

25. Башмакова М. Г., Золотухина Е. С. Об оценке меры иррациональности чисел вида

26. √4𝑘 + 3 ln((√4𝑘+3+1)/(√4𝑘+3−1)и 1/√𝑘 arctan1/√𝑘

27. // Чебышевский сборник. 2018. Т.19, № 2 (66). С.15-29.

28. Zudilin W. One of the numbers 𝜁(5), 𝜁(7), 𝜁(11) is irrational //Uspekhi Matematicheskikh

29. Nauk. 2020. № 56(4). P.149-150.

30. Marcovecchio R. The Rhin-Viola method for log 2 // Acta Arithm. 2009. Vol.139, № 2. pp.

31. -184.

32. Салихов В. Х., Башмакова М. Г. О показателе иррациональности arctan 1

33. // Известия высших учебных заведений. Математика. 2019. № 1. С.69-75.

34. Wu Q., Wang L. On the irrationality measure of log 3 // Journal of number theory. 2014. № 142. P. 264-273.

35. Салихов В. Х., Башмакова М. Г. Об оценке меры иррациональности arctan 1

36. // Чебышевский сборник. 2019. Т. 20, № 4. С.58-68.

37. Салихов В. Х., Башмакова М. Г. Об оценке меры иррациональности некоторых значений arctan 1/𝑛 //Известия высших учебных заведений. Математика. 2020. Т.64, № 12. С.29-37.

38. Wu Q. On the linear independence measure of logarithms of rational numbers // Math. of

39. computation. 2002. № 72(242). P. 901-911.

40. Салихов В. Х., Башмакова М. Г. Об оценке меры иррациональности arctan1/6 , arctan1/10// Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы, приложения и проблемы истории. Сб. мат. XVIII междунар. конф., посв. столетию со дня рожд. проф. Б.М.Бредихина, В.И. Нечаева и С.Б.Стечкина. Тула, 23-26 сент. 2020 г. Тула: ТГПУ. 2020. c. 264-266.

41. Salikhov V. Kh. Bashmakova M. G. On rational approximations for some values of arctan 𝑠/𝑟for natural 𝑠 and 𝑟, 𝑠 < 𝑟.// Moscow journal of combinatorics and number theory,2022. v.11,

42. n. 2, pp. 181-188.