BR-МНОЖЕСТВА

Аннотация

Владимирская школа теории чисел долгое время занималась иссле­ дованием квазипериодических разбиений. Постепенно отсюда появилась задача о равномерном распределении точек на торе, при этом возникала необходимость в точных оценках остаточных членов этого распределения. Область исследования работы относится к разделу теории чисел, за­ нимающемуся изучением множеств ограниченного остатка. Актуальность для теории чисел изучения множеств ограниченного остатка и их много­ мерных динамических модификаций обусловлена современной тенденцией перехода от классических арифметических числовых и функциональных структур к нелинейным арифметическим структурам. Динамические си­ стемы на множествах ограниченного остатка порождают хорошо сбалан­ сированные слова, аналогичные словам Штурма и Рози. Значимость же сбалансированных слов объясняется их многочисленными применениями в таких областях, как динамические системы, теория кодов, теория ком­ муникации и задачи оптимизации, теория языков и лингвистика, теория распознавания и статистическая физика. Целью работы является построение новых многомерных множеств ог­ раниченного остатка и нахождение точных оценок остаточного члена для этих множеств. Естественно было начать решение с двухмерного тора. В результате были построены три семейства трехпараметрических двумер­ ных множеств ограниченного остатка на основе гексагональных развер­ ток думерного тора. Теперь в распоряжении автора находятся одномер­ ные и двумерные множества ограниченного остатка. Возникает вопрос: нельзя ли на основе уже известых множеств, построить новые множества больших размерностей. Так, с использованием произведения торических разверток, строятся четыре семейства четырехпараметрических трехмер­ ных множеств ограниченного остатка, на основе гексагональных призм­ разверток трехмерного тора, полученных при умножении полуинтервалов Гекке и двумерных гексагональных разверток. Для всех построенных мно­ жеств определены точные оценки остаточного члена и доказана многомер­ ная теорема Гекке, найдены средние значения отклонений, а в двумерном случае построена оптимизация границ отклонений. В статье приведен обзор основных результатов автора по множествам ограниченного остатка.