О перечислении выпуклых 𝑅𝑅-многогранников

Задача перечисления класса многогранников с заданными условиями симметрии — одна из важных задач современной теории выпуклых многогранников. Известно много работ, в которых ставится задача о полном перечислении многогранников с условиями симметрии. Если ограничиться многогранниками в 𝐸3, то примерами таких многогранников являются правильные, правильные звёздчатые, Архимедовы многогранники, класс
Джонсона-Залгаллера, многогранники с условными рёбрами и многогранники с паркетными гранями. Конкретно, условия симметрии для класса замкнутых выпуклых правильных многогранников состоят в условиях правильности равных граней многогранника и однотипности его вершин. Для многогранников Джонсона-Залгаллера — в условии правильногранности замкнутого выпуклого многогранника. Известно, что последний класс помимо правильных и архимедовых многогранников, бесконечной серии призм и антипризм, содержит 92 многогранника с правильными гранями.
Ранее автором были найдены новые классы многогранников (например, так называемые многогранники, сильно симметричные относительно вращения); они обладают такой симметрией элементов, при которой условия правильности граней не предполагаются заранее. При этом была доказана полнота списков рассмотренных классов.
Возвращаясь к таким условиям симметрии, которые включают условия правильности граней, автором был введён класс замкнутых выпуклых 𝑅𝑅-многогранников (от слов rhombic и regular). Коротко этот класс определяется следующими условиями симметрии.
Грани 𝑅𝑅-многогранника можно разбить на два непустых непересекающихся множества — множество равных симметричных ромбических звёзд, не имеющих общих рёбер, и множество правильных граней.
При этом вершина 𝑉 называется ромбической, если гранная звезда 𝑆𝑡𝑎𝑟(𝑉 ) вершины 𝑉 многогранника состоит из 𝑛 равных и одинаково расположенных ромбов (не квадратов), имеющих общей вершиной 𝑉 . Если вершина 𝑉 принадлежит оси вращения порядка 𝑛 звезды 𝑆𝑡𝑎𝑟(𝑉 ), то 𝑉 называется симметричной. Симметричная ромбическая вершина 𝑉 называется тупоугольной, если ромбы звезды 𝑆𝑡𝑎𝑟(𝑉 ) в вершине 𝑉 сходятся своими
тупыми углами. Примером 𝑅𝑅-многогранника является удлинённый ромбододекаэдр.
В настоящей работе приводится изменённое доказательство теоремы о существовании и единственности замкнутого выпуклого 𝑅𝑅-многогранника, связанного с икосаэдром и
доказано существование двадцать четвёртого 𝑅𝑅-многогранника с треугольными гранями и с четырьмя тупоугольными ромбическими вершинами. Доказаны также теоремы о
несуществовании некоторых многогранников с правильными гранями различного типа, "близких"к 𝑅𝑅-многогранникам.

1. Grunbaum B. Regular polyhedra — old and new.// Aequationes mathematicae. 1977. Vol. 16, № 1-2. P.1-20.

2. Coxeter H. S. Regular polytopes. London-NY. 1963.

3. Деза М., Гришухин В. П., Штогрин М. И. Изометрические полиэдральные подграфы в гиперкубах и кубических решетках. М.: МЦНМО, 2007.

4. Емеличев В. А., Ковалёв М. М., Кравцов М. К. Многогранники. Графы. Оптимизация. М.: Наука, 1981.

5. Cromwell P. R. Polyhedra. Cambridge: Cambridge University Press. 1999.

6. Makarov P. V. On the derivation of four-dimensional semi-regular polytopes// Voprosy Diskret. Geom. Mat. Issled. Akad. Nauk. Mold.1988. Vol. 103. P.139–150.

7. Макаров В. С. Правильные многогранники и многогранники с правильными гранями трехмерного пространства Лобачевского // Материалы X Международного семинара "Дискретная математика и ее приложения".М.: МГУ. 2010. С.58-66.

8. Farris S. L. Completely classifying all vertex-transitive and edge-transitive polyhedra.// Geometriae Dedicata. 1988. Vol. 26, № 1. P.111-124.

9. McMullen P. Geometric Regular Polytopes. Cambridge University Press. 2020.

10. Blind, G.; Blind, R. The semiregular polytopes // Commentarii Mathematici Helvetici. 1991. Vol.66, № 1. P.150–154.

11. Johnson N. W. Convex polyhedra with regular faces // Can. J. Math. 1966. Vol. 18, № 1. P. 169—200.

12. Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями //Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1967. Т.2. С.1-220.

13. Милка А. Д. Почти правильные многогранники. //Труды Ин-та мат. СО АН СССР. 1987. Т.9. С.136-141.

14. Timofeenko A. V. Junction of noncomposite polytops // St. Petersburg Math. J. 2010. Vol.21, № 3. P.483–512.

15. Субботин В. И. Об одном классе сильно симметричных многогранников // Чебышевский сборник. 2016. № 4. С. 132-140.

16. Субботин В. И. О двух классах многогранников с ромбическими вершинами // Зап. научн.семин. ПОМИ. – 2018. – Т. 476, – C. 153-164.

17. Субботин В. И. Об одном классе многогранников с симметричными звездами вершин //Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2019. Т.169. С. 86-95.

18. Субботин В. И. О полноте списка выпуклых 𝑅𝑅-многогранников //Чебышевский сборник. 2020. Т.21, № 1. С. 297-309.

19. Субботин В. И.О существовании RR-многогранников, связанных с икосаэдром //Чебышевский сборник. 2021. Т.22, № 4. С. 253-264.

20. Субботин В. И. О существовании и полноте перечисления трёхмерных RR-многогранников //Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2022. Т.216. С. 106-115.

21. Субботин В. И. On the composite RR-polyhedra of the second type //Siberian Mathematical Journal. 2023. Vol.64, No.2. P.500–506.

22. Субботин В. И.О несоставных RR-многогранниках второго типа //Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2023. Т.221. С. 104-114.