Некоторые обобщения формулы Фаа Ди Бруно
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-5-180-193
Аннотация
В центре внимания статьи лежит классическая формула Фаа Ди Бруно для вычисления производных высших порядков сложной функции 𝐹(𝑢(𝑥)). Здесь приведен вариант доказательства этой формулы. Затем доказывается обобщение формулы Фаа Ди Бруно на случай сложной функции с внутренней функцией 𝑢(𝑥, 𝑦), зависящей от двух независимых переменных. В работе представлена формула для 𝑛-ой производной сложной функции,
когда аргументом внешней функции является вектор с произвольным числом компонент (функций от одной переменной). В статье также рассмотрены примеры нахождения производных высших порядков, иллюстрирующие как классическую формулу Фаа Ди Бруно, так и ее обобщения.
Ключевые слова
Фаа Ди Бруно,
𝑛-ая производная сложной функции многих переменных,
обобщения формулы Фаа Ди Бруно для этих функций,
формулы бинома и полинома Ньютона.
При поддержке: Исследование выполнено в рамках проекта ФГУ ФНЦ НИИСИ РАН «Развитие методов математического моделирования распределенных систем и соответствующих методов вычисления» FNEF-2022-0007 (Рег. № 1021060909180-7-1.2.1).
Об авторе
Павел Николаевич Сорокин
Федеральный научный центр «Научно-исследовательский институт системных исследований Российской академии наук»
Россия
Россия
кандидат физико-математических наук
Список литературы
1. Fa´a di Bruno F. Sullo sviluppo delle funzione // Annali di Scuenze Matematiche e Fisiche. 1855. 6. P. 479-480.
2. Fa´a di Bruno F. Note sur un nouvelle formulae de calcul differentiel // Quart. J. Math. 1857. 1. P. 359-360.
3. Mishkov R. L. Generalization of the formula of Fa´a di Bruno for a composite function with a vector argument // Internat. J. Math. & Math. Sci. 2000. Vol. 24, № 7. P. 481-491.
4. Roman S. The formula of Fa´a di Bruno // Amer. Math. Monthly. 1980. Vol. 87, №10. P. 805-809.
5. Дворянинов С. В., Сильванович М. И. О формуле Фаа ди Бруно для производных сложной функции // Математическое образование, 2009, 1 (49), 22-26.
6. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. —М.: Дрофа, 2003. 640с.
7. Bell E. T. Partition polynomials // Ann. Math. 1927. Vol. 29. P. 38-46.
8. Comtet L. Advanced Combinatorics. D. Reidel Publishing Co., Dordrecht, 1974.
9. Johnson W.P. The curious history of Fa´a di Bruno’s formula // Amer. Math. Monthly. 2002. Vol. 109. P. 217-234.
10. Чубариков В. Н. Обобщенная формула бинома Ньютона и формулы суммирования // Чебышевский сборник, 2020, 21, № 4. 270-301.
11. Constantine G. M., Savits T. H. A multivariate Fa´a di Bruno formula with applications // Trans. Amer. Math. Soc., 1996. vol. 348, № 2. P. 503-520.
12. Шабат А. Б, Эфендиев М. Х. О приложениях формулы Фаа-Ди-Бруно // Уфимский математический журнал, 2017, 9, № 3. 132–137.
13. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Учебное пособие. 14 издание, испр. — М.: Изд-во Московского университета, 1998. 624 с.
14. Frabetti A., Manchon D. Five interpretation of Fa´a di Bruno’s formula, 2014, https://arxiv.org/pdf/1402.5551.pdf.
15. Craik A. D. D. Prehistory of Fa´a di Bruno’s formula // Amer. Math. Monthly, 2005. vol. 112, № 2, P. 119–130.
16. Arbogast L. F. A. Du Calcul des D´erivations, Levrault, Strasbourg, 1800.
Рецензия
Для цитирования:
Сорокин П.Н. Некоторые обобщения формулы Фаа Ди Бруно. Чебышевский сборник. 2023;24(5):180-193. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-5-180-193
For citation:
Sorokin P.N. Some generalizations of the Faa Di Bruno formula. Chebyshevskii Sbornik. 2023;24(5):180-193. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-5-180-193
Просмотров:
460
Послать статью по эл. почте 