Инволюции в алгебре верхнетреугольных матриц над кольцом целых алгебраических чисел квадратичных полей

Аннотация

В статье исследована классификация с точностью до эквивалентности инволюций в алгебре верхнетреугольных матриц над кольцом целых алгебраических чисел квадратичных
полей.
Описание инволюций в алгебрах представляет собой одну из классических задач теории колец. Стандартными примерами инволюций является транспонирование в матричной алгебре и сопряжение в поле комплексных чисел и алгебре кватернионов.
В случае, когда поле 𝑃 имеет характеристику отличную от двух, полное описание инволюций с точности до их эквивалентности в алгебре 𝑇𝑛(𝑃) для любого натурального числа 𝑛, было получено в [15]. В работе [3] исследованы инволюции в алгебре верхнетреугольных матриц над коммутативными кольцами. Если кольцо является полем характеристики 2 или булевым кольцом, то были найдены необходимые и достаточные условия конечности
числа классов эквивалентности инволюций.
Данная статья является продолжением работы [3]. В статье [3], в частности, было найдено число классов эквивалентности инволюций в алгебрах верхнетреугольных матриц над кольцом целых чисел. В связи с этим результатом естественной является задача об описании инволюций с точностью до их эквивалентности в алгебрах верхнетреугольных матриц над кольцом целых алгебраических чисел квадратичных полей, которой посвящена настоящая работа. В работе найдено число классов эквивалентности инволюций в таких алгебрах и на примерах проиллюстрирован способ нахождения представителей в каждом классе эквивалентности. При получении основных результатов в настоящей работе существенно используется аппарат теории уравнений Пелля.