Доказательство правила Лопиталя

Аннотация

В настоящей работе представлено новое доказательство правила Лопиталя, предлагаемое для изучения преподавателям, читающим курс математического анализа. Соответствующая теорема сформулирована и доказана для 6 пределов 𝑥 → 𝑎, 𝑥 → 𝑎+0, 𝑥 → 𝑎−0, 𝑥 → +∞, 𝑥 → −∞, 𝑥 → +∞, для 2 неопределённостей вида 0/0 и ∞/∞ и для 4 значений предела 𝐴 ∈ (−∞,+∞), 𝐴 = −∞, 𝐴 = +∞, 𝐴 = ∞, т. е. представленная теорема покрывает 6 * 2 * 4 = 48 частных случаев правила Лопиталя. Представленное доказательство
отличается от многих традиционных доказательств тем, что кроме определения предела функции по Коши в нём также используется определение предела функции по Гейне.
В качестве важного вспомогательного утверждения, позволяющего применить определение предела функции по Гейне, используется теорема о единственном частичном пределе.
Данное утверждение позволяет также применить арифметические свойства пределов последовательности в доказательстве для неопределённости вида ∞/∞ и предела 𝑥 → 𝑎+0, т.е. для случая, где достигается наиболее существенное упрощение доказательства.