Регуляризованная асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи Коши для уравнения Шредингера с потенциалом 𝑄(𝑥) = 𝑥^2

В предложенной работе выполнено построение регуляризованной асимптотики решения сингулярно возмущенной неоднородной задачи Коши для уравнения Шредингера. Выбранный в работе потенциал 𝑞(𝑥) = 𝑥^2 приводит к особенности в спектре предельного оператора в виде сильной точки поворота. Основная проблема, с которой сталкивается исследователь при применении метода регуляризации, связана с поиском и описанием
регуляризирующих функций, которые содержат в себе неравномерную сингулярную зависимость решения искомой задачи, выделяя которые, можно оставшуюся часть решения
искать в виде степенных рядов по малому параметру. Развитие метода регуляризации привело к пониманию того, что этот поиск тесно связан со спектральными характеристиками предельного оператора. В частности, установлено, каким образом следует описывать сингулярную зависимость асимптотического решения от малого параметра при выполнении условий стабильности спектра. При нарушении условий стабильности все обстоит значительно сложнее. Более того, до сих пор нет законченной математической теории для сингулярно возмущенных задач с нестабильным спектром, хотя с общематематических позиций их стали изучать порядка 50 лет назад. Особый интерес среди таких задач вызывают те, в которых спектральные особенности выражены в виде точечной нестабильности.
В работах, посвященных сингулярно возмущенным задачам, некоторая часть особенностей такого вида названа точками поворота. Опираясь на идеи асимптотического интегрирования задач с нестабильным спектром С.А. Ломова и А.Г. Елисеева, указано каким образом и из каких соображений следует вводить регуляризирующие функции и дополнительные регуляризирующие операторы, подробно описан формализм метода регуляризации для поставленной задачи, проведено обоснование этого алгоритма и построено асимптотической
решение любого порядка по малому параметру.

1. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений // М.: Наука, 1981. 398 с.

2. Ломов С. А., Ломов И. С. Основы математической теории пограничного слоя // М.: Изд-во Московского университета, 2011. 453 с.

3. Ломов С. А. Асимптотическое поведение решений обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, содержащих малый параметр // Труды МЭИ. 1962. Вып. 42. С. 99-144.

4. Ломов С. А. Степенной пограничный слой в задачах с малым параметром // Доклады АН СССР. 1963. Том 148, № 3. С. 516-519.

5. Ломов С. А. О модельном уравнении Лайтхилла // Сборник научных трудов МО СССР. 1964. № 54. С. 74-83.

6. Ломов С. А. Регуляризация сингулярных возмущений // Доклады научно-технической конференции МЭИ, секция математическая. 1965. С. 129-133.

7. Ломов С. А., Сафонов В. Ф. Регуляризации и асимптотические решения для сингулярно возмущенных задач с точечными особенностями спектра предельного оператора // Украинский математический журнал. 1984. T. 36, № 2. C. 172-180.

8. Бободжанов А. А., Сафонов В. Ф. Регуляризованная асимптотика решений интегродифференциальных уравнений с частными производными с быстро изменяющимися ядрами // Уфимский математический журнал. 2018. Т. 10, № 2. С. 3-12.

9. Елисеев А. Г., Ломов С. А. Теория сингулярных возмущений в случае спектральных особенностей предельного оператора // Математический сборник. 1986. Т. 131, № 173. С. 544-557.

10. Елисеев А. Г., Ратникова Т. А. Сингулярно возмущенная задача Коши при наличии рациональной «простой» точки поворота // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2019. № 3. C. 63-73.

11. Елисеев А. Г. Регуляризованное решение сингулярно возмущенной задачи Коши при наличии иррациональной «простой» точки поворота // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2020. № 2. C. 15-32.

12. Yeliseev A. On the Regularized Asymptotics of a Solution to the Cauchy Problem in the Presence of a Weak Turning Point of the Limit Operator // Axioms. 2020. № 9, 86. http://doi.org/10.3390/axioms9030086.

13. Кириченко П. В. Сингулярно возмущенная задача Коши для параболического уравнения при наличии «слабой» точки поворота у предельного оператора // Математические заметки СВФУ. 2020. № 3. C. 3-15.

14. Елисеев А. Г., Кириченко П. В. Регуляризованная асимптотика решения сингулярно возмущенной задача Коши при наличии «слабой» точки поворота у предельного оператора // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2020. № 1. C. 55-67.

15. Елисеев А. Г., Кириченко П. В. Cингулярно возмущенная задача Коши при наличии «слабой» точки поворота первого порядка у предельного оператора с кратным спектром // Дифференциальные уравнения. 2022. Т. 58, № 6. С. 733-746.

16. Елисеев А. Г. Пример решения сингулярно возмущенной задачи Коши для параболического уравнения при наличии «сильной» точки поворота // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2022. № 3. C. 46-58.

17. Елисеев А. Г., Кириченко П. В. Регуляризованная асимптотика решения сингулярно возмущенной смешанной задачи на полуоси для уравнения типа Шредингера при наличии «сильной» точки поворота у предельного оператора // Чебышевский сборник. 2023. Т. 24, вып. 1. С. 50–68. DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-1-50-68.

18. Арнольд В. И. О матрицах, зависящих от параметров // УМН. 1971. Т. 26, № 2(158). C. 101-114.

19. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Курс теоретической физики. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) // М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 800 с.

20. Liouville J. Second M´emoire sur le d´eveloppement des fonctions ou parties de fonctions en s´eries dont les divers termes sont assuj´etis ´a satisfaire ´a une mˆeme ´equation diff´erentielle du second ordre, contenant un param´etre variable // Journal de Math´ematiques Pures et Appliqu´ees. 1837. Pp. 16-35.

21. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление // М.: Наука, 1965. 424 с.