О диофантовых неравенствах с простыми числами

Аннотация

В статье рассматриваются две задачи о приближении заданного положительного числа 𝑁 суммой двух простых чисел, а также суммой простого числа и двух квадратов простых чисел.
В 2001 г. Р. Бейкер, Г. Харман и Дж. Пинтц доказали для числа решений неравенства |𝑝 − 𝑁| ⩽ 𝐻 в простых числах 𝑝 правильную по порядку оценку снизу при 𝐻 ⩾ 𝑁^(21/40+𝜀), где 𝜀 — произвольно малое положительное число. С использованием этого результата и
плотностной техники в настоящей работе доказана оценка снизу для числа решений неравенства |𝑝1 + 𝑝2 − 𝑁| ⩽ 𝐻 в простых числах 𝑝1, 𝑝2 при 𝐻 ⩾ 𝑁^(7/80+𝜀).
Кроме того, на основе плотностной техники доказана также оценка снизу для числа решений неравенства |𝑝^2_1+ 𝑝^2_2+ 𝑝_3− 𝑁|⩽ 𝐻 в простых числах 𝑝1, 𝑝2 и 𝑝3 при 𝐻 ⩾ 𝑁^(7/72+𝜀).