Инвариантные дифференциальные полиномы
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-4-212-238
Аннотация
На основе предлагаемого в статье способа решения так называемых (𝑟, 𝑠)-систем линейных уравнений доказано, что порядки однородных инвариантных дифференциальных операторов 𝑛 гладких вещественных функций одной переменной принимают значения от 𝑛 до (𝑛(𝑛+1))/2, а размерность пространства всех таких операторов не превосходит 𝑛!. Получена классификация инвариантных дифференциальных операторов порядка 𝑛 + 𝑠 для 𝑠 = 1, 2, 3, 4, а при 𝑛 = 4 для всех порядков от 4 до 10. Единственные с точностью до множителей однородные инвариантные дифференциальные операторы самого маленького
порядка 𝑛 и самого большого порядка (𝑛(𝑛+1))/2 предоставлены, соответственно, произведением 𝑛 первых дифференциалов (𝑠 = 0) и вронскианом (𝑠 = (𝑛 − 1)𝑛/2). Доказано существование ненулевых однородных инвариантных дифференциальных операторов порядка 𝑛 + 𝑠 для 𝑠 < ((1+√5)/2)*(𝑛 − 1).
Об авторе
Фёдор Михайлович Малышев
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук
Россия
Россия
доктор физико-математических наук
Список литературы
1. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. 5-е издание, М.: "Дрофа" , 2004, 640 с.
2. Кириллов А.А. Инвариантные операторы над геометрическими величинами. Итоги науки и техники. Т. 16. М.: ВИНИТИ, 1980, c. 3–29.
3. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. 4-е издание, М.: "Наука" , 1984, 520 с.
4. Малышев Ф.М. Симплициальные системы линейных уравнений. В кн.: Алгебра. М.: Изд-во МГУ, 1980, стр. 53-56.
5. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1986, 304 с.
6. Буаррудж С. Тернарные инвариантные дифференциальные операторы, действующие на пространстве взвешенных плотностей, ТМФ, 158:2 (2009), c. 165–180.
7. Кириллов А.А. Об инвариантных дифференциальных операциях над геометрическими величинами. Функц. анализ и его прилож., 1977, 11, № 2, c. 39–44.
8. Рудаков А.Н. Неприводимые представления бесконечномерных алгебр Ли картановского типа. Изв. АН СССР. Сер. мат., 1974, 38, № 4, c. 835–866.
9. Veblen O. Differential invariants and geometry. Atti del Congr., Int. Mat., Bologna, 1929.
10. Фейгин Б.Л., Фукс Д.Б. Об инвариантных дифференциальных операторах на прямой. Функц. анализ и его прилож., 1979, 13, № 4, c. 91–92.
11. Грозман П.Я. Классификация билинейных инвариантных операторов над тензорными полями. Функц. анализ и его прилож., 1980, 14, № 2, c. 58–59.
12. Бернштейн И.Н., Лейтес Д.А. Инвариантные дифференциальные операторы в формальных тензорных полях. – Сердика, 1981, т. 11, № 4, c. 30–45.
13. Лейтес Д.А. Неприводимые представления супералгебр Ли векторных полей и инвариантные дифференциальные операторы. Функц. анализ и его прилож., 1982, 16, № 1, c. 76–77.
14. Фейгин Б.Л., Фукс Д.Б. Кососимметрические инвариантные дифференциальные операторы на прямой и модули Верма над алгеброй Вирасоро. Функц. анализ и его прилож., 1982, 16, № 2, c. 47–63.
15. Табачников С.Л. Об инвариантных дифференциальных операторах общего положения. Функц. анализ и его прилож., 1982, 16, № 3, c. 86–87.
16. Шмелёв Г.С. Неприводимые представления бесконечномерных гамильтоновых и пуассоновых супералгебр Ли и инвариантные дифференциальные операторы. – Сердика, 1982, т.12, № 1, c. 11–23.
17. Шмелёв Г.С. Дифференциальные 𝐻(2𝑛,𝑚)-инвариантные операторы и неразложимые 𝑜𝑠𝑝(2, 2𝑛)-представления. Функц. анализ и его прилож., 1983, 17, № 4, c. 94–95.
18. Шмелёв Г.С. Инвариантные операторы на симплектическом супермногообразии. Мат. сб. Т. 120(162), № 4, 1983, c. 528–539.
19. Iohara K., Mathieu O. A Global version of Grozman’s theorem. Math. Zeitschrift, 274:3 (2013), c. 955–992.
20. Bouarroudj S., Leites D.A. Invariant differential operators in positive characteristic. J. Algebra. 499 (2018), c. 281–297.
21. Grozman P. Invariant bilinear differential operators. Communications in Mathematics, 30:3, (2022), c. 129–188.
22. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. Деревья, производящие функции и симметрические функции. М.: Мир, 2005, 767 с.
23. Arbogast L. F. A. Du calcul des d´erivations aux s´ries r´currentes, tant simples que doubles or triples, d’un ordre quelconque. — Strasbourg: Levrault, 1800.
24. Fa`a di Bruno F. Sullo sviluppo delle funzioni. Annali di Scienze Matematiche et Fisiche di Tortoloni. 6 (1855), c. 479–480.
25. Fa`a di Bruno F. Note sur une nouvelle formule de calcul diff´erentiel. Quart. J. Math. 1 (1857), c. 359–360.
26. Веннинджер М. Модели многогранников. М.: Мир, 1974, 236 с.
Рецензия
Для цитирования:
Малышев Ф.М. Инвариантные дифференциальные полиномы. Чебышевский сборник. 2023;24(4):212-238. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-4-212-238
For citation:
Malyshev F.M. Invariant differential polynomials. Chebyshevskii Sbornik. 2023;24(4):212-238. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-4-212-238
Просмотров:
393
Послать статью по эл. почте 